經常有同學問複數集合作為複數域和實數域上的線性空間的區別，本文給予乙個比較詳細的解釋。線性空間v(+
,⋅)v(+,\cdot)
v(+,⋅)
是乙個代數系統，它的定義有四個要素：
（1）乙個數域ppp；
（2）乙個非空集合vvv；
（3）兩種線性運算：加法和數乘；
（4）八條運算規律：加法運算律a1∼
a4a_1\sim a_4
a1∼a4
, 數乘運算律m1∼
m4m_1\sim m_4
m1∼m4
。複數集合c
cc按照複數的加法和複數與數域p
pp中的數乘完全符合上述定義的各項要素，所以是線性空間。當數域p
pp分別是複數域c
cc和實數域r
rr時，c
cc是不同的線性空間。這裡有點繞，當我們把c
cc看成複數域c
cc上的線性空間時，這裡的兩個c
cc有不同的含義，按照定義去扣的話，前乙個c
cc充當定義裡的非空集合v
vv, 而後乙個c
cc充當定義中的數域ppp。
複數域上的空間c
cc和實數域上的空間c
cc的根本區別在數乘運算上：
例如，複數域上的空間c
cc中: ∀w∈
c,\forall w\in c,
∀w∈c
, 數乘2i⋅
w2i\cdot w
2i⋅w
是允許的，而在實數域上的空間c
cc中: ∀w∈
c,\forall w\in c,
∀w∈c
, 數乘2i⋅
w2i\cdot w
2i⋅w
是不允許的，因為2i∉
r2i\notin r
2i∈/r
。數域r
rr限制了做複數向量的線性組合時，係數只能用實數。
數乘運算的這種區別決定了這兩種空間的維數和基的不同。
所謂"基"，就是空間v
vv中的一組線性無關的向量組，使得ｖ
ｖｖ中的每乙個向量都能被這組向量組表示出來。下面就用這個思路來求這種空間的基。
（1）複數域上的空間ccc
∀ w∈
c\forall w\in c
∀w∈c
, 由於w=w
×1,w=w\times 1,
w=w×1,
所以1是該空間的一組基，所以這個空間的維數是1維。
(2)實數域上的空間ccc
∀ w∈
c\forall w\in c
∀w∈c
, 由於現在數域是實數域，所以只能用實數作為組合係數，於是
w =a
×1+b
×i,a
,b∈r
,w=a\times 1+b\times i, a,b\in r,
w=a×1+
b×i,
a,b∈
r,所以，1和i
ii是該空間的一組基，維數是2維。
為了方便設v
1v_1
v1表示複數域上的線性空間c
cc, v
2v_2
v2表示實數域上的線性空間c
cc。定義線性變換：
σ (w
)=w‾
,w∈c
,\sigma(w)=\overline, w\in c,
σ(w)=w
,w∈c
,即為取複數的共軛複數。請問σ
\sigma
σ是v1
v_1v1
或者v
2v_2
v2上的線性變換嗎？
要判斷σ
\sigma
σ是否為線性變換，關鍵看它是否保持線性運算。
在v
1v_1
v1中，
σ (i
w)=i
w‾=i
‾w‾=
−iw‾
≠iw‾
=iσ(
w),\sigma(iw)=\overline=\overline\overline=-i\overline\ne i\overline=i\sigma (w),
σ(iw)=
iw=i
w=−i
w̸=
iw=i
σ(w)
,所以，σ
\sigma
σ不是v
1v_1
v1上的線性變換。
在v
2v_2
v2中， ∀w∈
c,∀a
∈r,\forall w\in c , \forall a\in r,
∀w∈c,∀
a∈r,σ(
aw)=
aw‾=
a‾w‾
=aw‾
=aσ(
w),\sigma(aw)=\overline=\overline\overline=a\overline=a\sigma(w),
σ(aw)=
aw=a
w=aw
=aσ(
w),所以，σ
\sigma
σ是v2
v_2v2
上的線性變換。
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