鋼管下料問題
例 某鋼管零售商從鋼管廠進貨，將鋼管按照顧客的要求切割後售出。從鋼管廠
進貨時得到的原料鋼管都是 19m 長。
（1）現有一客戶需要 50 根 4m 長，20 根 6m 長和 15 根 8m 長的鋼管。應如何下
料最節省？
（2）零售商如果採用的不同切割模式太多，將會導致生產過程的複雜化，從而增
加生產和管理成本，所以該零售商規定採用的不同切割模式不能超過 3 種。此外，該客
戶除需要（1）中的三種鋼管外，還需要 10 根 5m 長的鋼管。應如何下料最節省？
2.1.1 問題（1）的求解
（1）問題分析
首先，應當確定哪些切割模式是可行的。所謂乙個切割模式，是指按照客戶需要在原料鋼管上安排切割的一種組合。例如，我們可以將 19m 長的鋼管切割成 3 根 4m
長的鋼管，餘料為 7m；或者將 19m 長的鋼管切割成 4m，6m 和 8m 長的鋼管各 1 根，
餘料為 1m。顯然，可行的切割模式是很多的。
其次，應當確定哪些切割模式是合理的。通常假設乙個合理的切割模式的餘料不
應該大於或等於客戶需要的鋼管的最小尺寸。例如，將 19m 長的鋼管切割成 3 根 4m
的鋼管是可行的，但餘料為 7m，可以進一步將 7m 的餘料切割成 4m 鋼管（餘料為 3m），
或者將 7m 的餘料切割成 6m 鋼管（餘料為 1m）。在這種合理性假設下，切割模式一共
有 7 種，如表 3 所示。表 3 鋼管下料的合理切割模式
4m 鋼管根數 6m 鋼管根數 8m 鋼管根數 餘料（m）
模式 1 4 0 0 3
模式 2 3 1 0 1
模式 3 2 0 1 3
模式 4 1 2 0 3
模式 5 1 1 1 1
模式 6 0 3 0 1
模式 7 0 0 2 3
問題化為在滿足客戶需要的條件下，按照哪些種合理的模式，切割多少根原料鋼
管，最為節省。而所謂節省，可以有兩種標準，一是切割後剩餘的總餘料量最小，二是
切割原料鋼管的總根數最少。下面將對這兩個目標分別討論。
（2）模型建立
決策變數：用 i x 表示按照第i 種模式（i = 1,2,l,7 ）切割的原料鋼管的根數，顯
然它們應當是非負整數。
決策目標：以切割後剩餘的總餘料量最小為目標，則由表 3 可得
ｍｉｎｚ１＝３ｘ１＋ｘ２＋３ｘ３＋３ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋３ｘ７ （６）
ｍｉｎｚ２＝ｘ１＋ｘ２＋ｘ３＋ｘ４＋ｘ５＋ｘ６＋ｘ７ （７）
下面分別在這兩種目標下求解。
約束條件：為滿足客戶的需求，按照表 3 應用
4x1 + 3x2 + 2x3 + x4 + x5 ≥ 50 （8）
x2 + x4 + x5 + 3x6 ≥ 20 （9）
x3 + x5 + 2x7 ≥15 （10）
（3）模型求解
i）將式（6）、（8）～（9）構成的整數線性規劃模型（加上整數約束）輸入 lingo
model:
title 鋼管下料－最小化餘量;
sets:
col/1…7/:c,x;
row/1…3/:b;
link(row,col):a;
endsets
data:
c=3 1 3 3 1 1 3;
b=50 20 15;
a=4 3 2 1 1 0 0
0 1 0 2 1 3 0
0 0 1 0 1 0 2;
enddata
min=@sum(col:c*x);
@for(row(i):@sum(col(j):a(i,j)x(j))>=b(i));
@for(col:@gin(x));
end求得按照模式 2 切割 12 根原料鋼管，按照模式 5 切割 15 根原料鋼管，共 27 根，
總餘料量為 27m。但 4m 長的鋼管比要求多切割了 1 根，6m 長的鋼管比要求多切割了
7 根。顯然，在總餘料量最小的目標下，最優解將是使用餘料盡可能小的切割方式（模
式 2 和模式 5 的餘料為 1m），這會導致切割原料鋼管的總根數較多。
ii）將式（7）～（10）構成的整數線性規劃模型輸入 lingo
model:
title 鋼管下料－最小鋼管數;
sets:
col/1…7/:c0,c,x;
row/1…3/:b;
link(row,col):a;
endsets
data:
c0=3 1 3 3 1 1 3;
c=1 1 1 1 1 1 1;
b=50 20 15;
a=4 3 2 1 1 0 0
0 1 0 2 1 3 0
0 0 1 0 1 0 2;
enddata
min=@sum(col:cx);
@for(row(i):[con1]@sum(col(j):a(i,j)x(j))>=b(i));
@for(col:@gin(x));
[remainder]y=@sum(col:c0x);
end求得按照模式 2 切割 15 根原料鋼管，按模式 5 切割 5 根，按模式 7 切割 5 根，共
25 根，可算出總餘料量為 35m。但各長度的鋼管數恰好全部滿足要求，沒有多切割。
與上面得到的結果比較，總餘料量增加了 8m，但是所用的原料鋼管的總根數減少了 2
根。在餘料沒有什麼用途的情況下，通常選擇總根數最少為目標。
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