二分查詢利用靜態陣列隨機訪問的特性，可以實現在有序的陣列中快速找到某個值，但是因為靜態陣列需要申請連續的記憶體空間，所以當資料規模比較大時，在記憶體中可能無法申請到所需的連續空間。因此，基於這一特性，我們考慮能否將二分查詢應用於鍊錶結構，這樣就避免連續空間的限制，但是對於鍊錶結構，怎樣提高它的查詢效率是解決該問題的關鍵。通過給鍊錶建立多級索引的方式來對其進行改造，再與二分查詢相結合就可以大大的提公升查詢效率，這種改造的鍊錶我們稱之為跳表。
如下圖所示，我們每隔兩個結點，選取乙個結點作為索引層的元素，這樣第一級索引層的結點個數，為n/2。假如，我們要找16，我們首先可以遍歷索引層，當遍歷到13時，檢測它的下乙個結點為17，所以確定16在它們之間，13結點通過down指標找到原始鍊錶中13的位置，再繼續向後查詢找到16。可以對比一下如果沒有建立索引，需要遍歷10個結點，有了索引層之後只需遍歷7個就可以找到。因此得出的結論是查詢的效率變高了。
上面的例子我們感覺查詢提公升的速度並不是很多，因此我們可以按照之前的思路，再建立一層索引，結果如下圖所示。
同樣查詢16，上圖的方式僅需遍歷6個結點。如果資料規模更大，該方法提公升查詢速度的效果會更加明顯。
我們都知道單鏈表中查詢某個資料的時間複雜度是o(n)。現在我們來分析一下多級索引的跳表查詢某個資料的時間複雜度。假設鍊錶中有n個結點，如果按照每兩個結點抽出乙個結點作為上一級索引的結點，那麼第一級索引的結點個數大約是n/2，第二級索引的結點個數大約就是n/4，第**索引的結點個數大約就是n/8，依次類推，也就是說，第k級索引的結點個數是第k-1級索引的結點個數的1/2，那第k級索引結點的個數就是n/(2^k)。
假設索引有h級，最高端的索引有2個結點。通過上面的通項公式可有n/(2^h) = 2，從而求得h = logn - 1。如果包括原始的鏈表層，整個鍊錶的高度就是logn。如果每層我們需要遍歷m個結點，則在跳表中查詢乙個資料的時間複雜度就是o(m*logn)。分析可知，每層最多隻需遍歷3個結點，因此最終的時間複雜度為o(3logn)即o(logn)。
因為跳表的查詢時間複雜度是o(logn），而對於鍊錶的插入而言，單純的插入某乙個資料的時間複雜對為o(1)，因此我們可以知道在跳表中插入某一資料的時間複雜度也為o(logn)。具體插入某一資料的過程如下圖所示
刪除跳表中某一結點的某一資料時，與刪除鍊錶中的某一資料類似，只不過查詢該資料的速度更快。還需要注意的如果原始鍊錶為單鏈表，在刪除某一結點時，需要找到其前驅結點，時間複雜度同樣為o(logn)。
當我們不停的往跳表中插入資料時，如果我們不更新索引，就有可能某2個索引結點之間的資料非常多的情況。極端情況下，跳表會退化為單鏈表。作為動態資料結構，我們需要某種手段來維護索引與原始鍊錶大小之間的平衡，也就是說，如果鍊錶中結點個數增加，索引結點就應該相應地增加一些，避免時間複雜度退化，以及查詢、刪除、插入操作效能下降。跳表是通過隨機函式來維護前面提到的「平衡性」。通過隨機函式，來決定將插入結點，可以插入到哪幾級索引中，比如隨機生成了值k，那我們就將這個結點新增到第一級到第k級這k級索引中。舉個栗子，如下圖所示
關於隨機函式的選擇，以及實現我還沒有深入研究，後面研究明白了會繼續和大家分享。未完待續……
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