被忽視的 partition 演算法

如果你學習過演算法，那麼肯定聽說過快速排序的大名，但是對於快速排序中用到的 partition 演算法，你了解的夠多嗎？或許是快速排序太過於光芒四射，使得我們往往會忽視掉同樣重要的 partition 演算法。

partition 可不只用在快速排序中，還可以用於 selection algorithm（在無序陣列中尋找第k大的值）中。甚至有可能正是這種通過一趟掃瞄來進行分類的思想激發 edsger dijkstra 想出了 three-way partitioning，高效地解決了 dutch national flag problem 問題。接下來我們一起來探索 partition 演算法。

快速排序中用到的 partition 演算法思想很簡單，首先從無序陣列中選出樞軸點 pivot，然後通過一趟掃瞄，以 pivot 為分界線將陣列中其他元素分為兩部分，使得左邊部分的數小於等於樞軸，右邊部分的數大於等於樞軸（左部分或者右部分都可能為空），最後返回樞軸在新的陣列中的位置。

partition 的乙個直觀簡單實現如下（這裡取陣列的第乙個元素為pivot）：

// do partition in arr[begin, end), with the first element as the pivot.
int partition(vector&arr, int begin, int end)}}
swap(arr[begin], arr[pos]);
return pos;
}

如果原始陣列為[5,9,2,1,4,7,5,8,3,6]，那麼整個處理的過程如下圖所示：

這種實現思路比較直觀，但是其實並不高效。從直觀上來分析一下，每個小於pivot的值基本上（除非到現在為止還沒有遇見大於pivot的值）都需要一次交換，大於pivot的值（例如上圖中的數字9）有可能需要被交換多次才能到達最終的位置。

如果我們考慮用 two pointers 的思想，保持頭尾兩個指標向中間掃瞄，每次在頭部找到大於pivot的值，同時在尾部找到小於pivot的值，然後將它們做乙個交換，就可以一次把這兩個數字放到最終的位置。一種比較明智的寫法如下：

int partition(vector&arr, int begin, int end)
arr[begin] = pivot;
return begin;
}

如果是第一次看到上面的**，那麼停下來，好好品味一下。這裡沒有用到 swap 函式，但其實也相當於做了 swap 操作。以前面的陣列為例，看看以這種方法來做的話，整個處理的流程。

直觀上來看，賦值操作的次數不多，比前面單向掃瞄的swap次數都少，效率應該會更高。這裡從理論上對這兩種方法進行了分析，有興趣可以看看。

我們都知道經典的快速排序就是首先用 partition 將陣列分為兩部分，然後分別對左右兩部分遞迴進行快速排序，過程如下：

void quick_sort(vector&arr, int begin, int end)
int pos = partition(arr, begin, end);
quick_sort(arr, begin, pos);
quick_sort(arr, pos+1, end);
}

雖然快排用到了經典的分而治之的思想，但是快排實現的前提還是在於 partition 函式。正是有了 partition 的存在，才使得可以將整個大問題進行劃分，進而分別進行處理。

除了用來進行快速排序，partition 還可以用 o(n) 的平均時間複雜度從無序陣列中尋找第k大的值。和快排一樣，這裡也用到了分而治之的思想。首先用 partition 將陣列分為兩部分，得到分界點下標 pos，然後分三種情況：

下面給出基於迭代的實現：

int find_kth_number(vector&arr, int k)
else if(pos > k-1)
else
}return target_num;
}

該演算法的時間複雜度是多少呢？考慮最壞情況下，每次 partition 將陣列分為長度為 n-1 和 1 的兩部分，然後在長的一邊繼續尋找第 k 大，此時時間複雜度為 o(n^2 )。不過如果在開始之前將陣列進行隨機打亂，那麼可以盡量避免最壞情況的出現。而在最好情況下，每次將陣列均分為長度相同的兩半，執行時間 t(n) = n + t(n/2)，時間複雜度是 o(n)。

接下來先考慮這樣乙個問題，給定紅、白、藍三種顏色的小球若干個，將其排成一列，使相同顏色的小球相鄰，三種顏色先後順序為紅，白，藍。這就是經典的 dutch national flag problem。

我們可以針對紅，藍，白三種顏色的球分別計數，然後根據計數結果來重新放球。不過如果我們將問題進一步抽象，也就是說將乙個陣列按照某個target值分為三部分，使得左邊部分的值小於 target，中間部分等於 target，右邊部分大於 target，這樣就不能再用簡單的計數來確定排序後的結果。這時候，就可以用到另一種 partition 演算法：three-way-partition。它的思路稍微複雜一點，用三個指標將陣列分為四個部分，通過一次掃瞄最終將陣列分為的三部分，如下圖所示：

可以結合下面**來理解具體的邏輯：

// assume target is in the arr.
void three_way_partition(vector&arr, int target)
else if(arr[next_scan_pos] > target)
else}}

這裡的主要思想就是在一遍掃瞄中，通過交換不同位置的數字，使得陣列最終可以維持一定的順序，和前面快排中用到的 partition 思想一致。區別在於快排按照 pivot 將陣列分為兩部分，左右部分中的值都可能等於 pivot，而 three-way-partition 將陣列分為的三部分。

algorithms 4.0: demopartitioning

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