** 假設我們有n件物品，分別編號為1, 2…n。其中編號為i的物品價值為vi，它的重量為wi。為了簡化問題，假定價值和重量都是整數值。現在，假設我們有乙個揹包，它能夠承載的重量是w。現在，我們希望往包裡裝這些物品，使得包裡裝的物品價值最大化，那麼我們該如何來選擇裝的東西呢？
話不多少直接進入正題
尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
第一，包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即v(i,j)=v(i-1,j)；
第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即v(i,j)=max｛ v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)但價值增加了v(i)；
由此可以得出遞推關係式：
1) j2) j>=w(i) v(i,j)=max｛ v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
在此give the code:
/*for (int i = 1; i <= number; i++)//空間優化前
}}*/
時間上幾乎無優化但空間上還有
！！！……
怎麼優化的呢？
b[j]表示j容量下存放的價值最大量。
為什麼j要逆序呢？？
如果j不逆序而採用正序j=0…capacity，如上圖所示，當j=8時應該有b(8)=b(8-w(3))+v(3)=b(4)+5，然而此時的b(4)已經在j=4的時候被修改過了，原來的b(4)=4，現在b(4)=5，所以計算得出b(8)=5+5=10，（相當於3號物體放進兩次）顯然這於正確答案不符合；所以該一維陣列後面的值需要前面的值進行運算再改動，如果正序便利，則前面的值將有可能被修改掉從而造成後面資料的錯誤；相反如果逆序遍歷，先修改後面的資料再修改前面的資料，此種情況就不會出錯了。
給上**用於查閱：
#include #include #include using namespace std;
const int maxn = 100;//物品最大件數
const int maxv = 1000;//v的上限
int w[maxn], v[maxn];
int dp[maxn];
int main() //揹包問題
for (int i = 0; i < number; i++)
for (int i = 0; i <= capacity; i++)
/*for (int i = 1; i <= number; i++)//空間優化前
}}*/
for (int i = 1; i <= number; i++)//空間優化後
}} printf("%d", dp[capacity]);//輸出最大能裝價值
return 0;
}
完全揹包問題（空間優化，列印路徑）
hdu1114 寫在前面 這裡給出hdu1114題作為樣例 完全揹包問題 有n種物品，每i種物品的體積為vc i 價值為w i 數量不限 有一容量為c的揹包，問如何裝能使揹包的體積最大 當使用二維陣列時的狀態轉移方程為 dp i v max dp i 1 v dp i v vc i w i 空間優化...
01揹包問題 優化及變形
問題描述 有n件商品，第i件商品的重量是weights i 1 價值是values i 1 揹包容量是cap 則揹包能夠裝物品的最大價值首先構建乙個二維陣列dp，dp i j 表示第i件物品時揹包容量為j時的最大價值。如何求得dp i j 1 values i 1 j，說明第i件物品不能放入當前容量...
完全揹包問題 一維空間優化
有 n 種物品和乙個容量是 v 的揹包，每種物品都有無限件可用。第 i 種物品的體積是 vi，價值是 wi。求解將哪些物品裝入揹包，可使這些物品的總體積不超過揹包容量，且總價值最大。輸出最大價值。輸入格式 第一行兩個整數，n，v，用空格隔開，分別表示物品種數和揹包容積。接下來有 n 行，每行兩個整數...