定義（環）設r為某種元素組成的乙個非空集合，若在r內定義兩種運算（通常表示為加法運算「+」和乘法運算「·」），r中所有元素滿足以下條件：
（1）r關於加法運算「+」構成乙個abel群；
（2）r關於乘法運算」·」構成乙個半群；
（3）則稱r關於「+」和「·」形成乙個環（ring），記作（r，+，·），通常在不會產生混淆的情況下省略「十」和「·」，用r表示乙個環。
關於環的概念我們需要注意以下幾點：
（一）在環的定義中的運算「+」與「·」是抽象運算，不一定是我們通常在整數中定義
（二）當環r中的運算「·」滿**換律時，我們稱環r為交換環。
（三）當環r中存在元素e，使得對環r中任意乙個元素a都有e·a=a·e=a時，我們稱。為環r的單位元，並且稱環r為含單位元的環。通常在不會產生混淆時，a.b簡記為ab；
加法單位元一般記作0，稱為零元；
乘法單位元一般記作1。同樣這裡0和1也是抽象元，不同於整數0和整數1。
舉個栗子：
在通常意義的加法、乘法運算下，z（整數集，它包括全體正整數、全體負整數和零），q，r，c（複數集合）均構成環，且是交換環，加法單位元0即為數0，乘法單位元1即為數1。
定義：設r是乙個環，對r中任意元素a，如果存在乙個最小的正整數n使得na=0，則稱環r的特徵為n，記為char(r)=n。如果這樣的正整數不存在，則稱環r的特徵為0，記為char(r)=0。
還有一些環的型別，羅列如下：
定義：a,b均為環r中兩個非零元，如果ab=0,則稱a,b為零因子
整環：含有單位元的交換環，若沒有零因子，則稱之為整環。
z，q，r，c均為整環
除環或斜域：如果乙個環中的非零元全體在乘法運算「·」下構成群，則稱該環位除環（或斜域）
域：可交換的除環。
域就是乙個具有加法和乘法兩種運算的非空集合，該集合關於加法運算構成abel群，該集合中的非零元全體關於乘法運算也構成abel群，且乘法對加法滿足分配律。
q，r，c均為域，而z不是域（非零整數集
可以對群的概念做個複習
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