說起浮點數，大家都是又恨又愛的。愛呢，是因為，只有它可以方便地使用小數；恨呢，是因為它並不能精確地表示小數。
以 php 為例：floor((0.1 + 0.7) * 10)這樣乙個函式呼叫，根據數學老師死得晚原理，大家都能得出 8 這個結果。可是事實上呢？它會返回 7。數學老師的棺材板。。。(╯‵□′)╯︵┻━┻
可是為什麼會出現這種情況呢？這就要從浮點數的特性說起了。
我們都知道，在計算機中，一切的一切都是二進位制表示的。假設乙個 4 位元組整型的十進位制數 8，在大端表示的機器中，表示成00000000 00000000 00000000 00001000（0x0000008）。將十進位制整數轉換成二進位制數，是非常容易的。可是，小數呢？比如，我們要表示 1.75，該怎麼儲存在計算機中呢？顯然，不能像整數一樣儲存了。
讓我們回憶一下，在十進位制中，小數是怎麼計算的。上面的 1.75 我們是這麼算的：1 × 10^0 + 7 × 10^-1 + 5 × 10^-2 。那麼我們按照相同的規則，來用二進位制計算一下小數部分：0.75 = 1/2 + 1/4，也就是 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，再加上前面的整數部分，那麼整個式子就變成了 1 × 2^0 + 1 × 2^-1 + 1 × 2^-2 ，寫成二進位制形式就是 1.11。所以，1.75 的二進位制表示是 1.11。
對於將小數轉換為二進位制，和整數部分除二取餘相反的，是乘二取整。
0.75 * 2 = 1.5 -> 1
0.5 * 2 = 1 -> 1
所以我們同樣可以得出 1.11。
好了，我們已經知道如何表示乙個小數的二進位制了。辣麼，問題來了。學過 c 語言的同學都知道，乙個float只有 4 位元組，乙個double也只有 8 位元組。那麼，這麼表示乙個小數，好像範圍很有限。
在數學老師哭暈在廁所之前，我們應該還記得十進位制數中有這麼乙個東西——科學計數法，我們可以很方便地用它來表示很大的十進位制數。那麼，同理，我們也可以用在浮點數的表示上。
讓我們先來回憶一下，科學計數法的表示。假設我們有乙個數 17500，我們可以用科學計數法表示成 1.75 × 10^4 。我們照葫蘆畫瓢，在二進位制數中，假設有乙個數是 11010。我們來和十進位制對應一下。十進位制是乘 10，那麼二進位制就是乘 2，我們對應的就可以寫成 1.101 × 2^100 。對，其實就是這麼簡單。那也許有的人會問了，為什麼不寫成 0.1101 × 2^101 呢？我們再來回憶一下，在十進位制科學計數法中，是不是有乙個規定，整數部分的範圍是 [1,10)。那對應到我們的二進位制數上，這個規定就可以變成 [1,2) 了，沒錯，對應關係就是這麼簡單。
好了，我們現在也知道怎麼使用二進位制來表示小數，以及使用科學計數法來表示二進位制小數了。那麼，我們距離把數字存入計算機記憶體僅剩一步之遙了，我們要把所有的東西存到記憶體裡去，那麼我們就需要合理地分配記憶體空間。浮點數有兩種，一種是單精度浮點數（float），占用 4 位元組的記憶體。其中，1 位是符號位，8 位是階碼（冪），23 位是尾數（小數部分）。
細心的各位可能會發現，好像沒有整數部分？別急，這就是上面那個規定的有用之處。當整數部分在 [1,2) 之間時，也就只可能取到乙個值 1，那麼，對於這個值，我們是不是就可以當做預設值而不記錄在浮點數的表示中了？而這樣，我們的浮點數的精度又多了一位（小數部分的位數決定了精度）。這種表示叫做隱含 1 開頭的表示。
偏置值到了這裡，我們發現，第一位是浮點數的正負符號，那麼，對於乙個科學計數法來說，階碼同樣需要有正負。而在單精度中，階碼只有 8 位；雙精度中，階碼只有 11 位。如果我們給階碼表示成補碼，那麼，我們能夠表示的數的範圍就會縮小，這樣顯然是不划算的。於是，偏置值就由此誕生了。
規格化的值（階碼不全為 0 或 1）
在記憶體中的規格化的浮點數表示中，階碼並非是 2 的冪，而是經過計算的結果，這個計算公式就是 e - bias，這裡的 bias 就是偏置值，而 e 就是階碼在浮點數中的二進位制表示。bias 的值是 2^k-1 - 1（單精度是 127，雙精度是 1023），所以，e - bias 的取值範圍就是 [-126, 127]（單精度）和 [-1022, 1023]（雙精度）。其實如果對補碼了解的比較好的同學，應該就能看出來，這其實就是省略了符號位的補碼表示）。
通過上面的隱含 1 開頭的表示的尾數，我們可以計算出基數 m = 1 + f。那麼我們整個的浮點數可以寫成這樣乙個表示式：m × (e - bias)。
非規格化的值（階碼全為 0）
對於規格化和非規格化的值來說，我們都可以用同乙個式子來表示。不過，為了某些更加方便的原因（這裡就不展開講了），對它們做了區分。如果按照規格化的計算來看，階碼的值是 0 - bias，不過在這裡，我們讓階碼的值等於 1 - bias。同樣的，由於我們給階碼加了 1，那麼整個浮點數就會向左移動一位，那麼，我們需要讓浮點數的值不變，m 就不在需要上面整數部分的 1 了，所以 m = f。
同時，我們會發現乙個問題，那就是 +0.0 和 -0.0 在浮點數的二進位制表示上是不同的。
特殊值（階碼全為 1）
最後，還剩下這樣一種數字，那就是階碼全為 1 的情況。當小數為 0 的時候，浮點數的值為 ∞。當小數不為 0 時，浮點數的值為 nan，即不是乙個數（not a number）。
好了，扯了這麼多，我們現在回到最開始的問題上，floor((0.1 + 0.7) * 10) = 7。我們先看 0.1 的二進位制表示。
首先，我們將十進位制小數轉換成二進位制小數，可以得到 0.000[1100]···。讓我們轉換成浮點數的二進位制表示。按照上面的規則，它可以被表示成科學計數法 1.10011001100110011001100 × 2^-4 ，這樣，階碼就是 -4 + 127 = 123，二進位制表示為 01111011。所以，整個浮點數的二進位制表示就是00111101110011001100110011001100(0x3dcccccc)。同樣的，0.7 會表示為00111101001100110011001100110011(0x3d333333)。
首先我們要對階碼小的數進行對階，然後再進行尾數的加法，這樣，我們得到的值就是00111101111001100110011001100101。我們將其轉換成十進位制，發現，它是小於 0.8 的。因此，當我們再進行乘法運算向下取整時，會等於 7。
其實，浮點數有很多坑。因此，我們在使用浮點數的時候，一定要小心。還有，涉及到金額計算的時候，一定不能使用浮點數。
《深入理解計算機系統（第 3 版）》第 2.4.2 節
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關鍵字 體系結構 ieee754 浮點數 儲存 main 如果不執行上面的 讓我們來直接判斷，輸出的結果會是什麼？而在你執行程式之後，結果卻很讓人詫異 123.456001。為什麼會是123.456001？有六位小數可以理解，最後那個1是為何？有很多人解釋說最後那個1是亂碼，隨機的。嘿嘿 其實無論你...
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