浮點數比較

在數**算當中經常會涉及到判斷兩個數是否相等的情況

對於整數很好處理 a==b這樣的乙個語句就可以解決全部的問題

但是對於浮點數是不同的

首先，浮點數在計算機當中的二進位制表達方式就決定了大多數浮點數都是無法精確的表達的

現在的計算機大部分都是數字計算機，不是模擬機，數字機的離散化的資料表示方法自然無法精確表達大部分的資料量的。

其次計算機浮點數的精度在單精度float型別下，只有7位，在進行浮點運算的時候，這個精度往往會導致運算的結果和實際期望的結果之間有誤差

因為前兩個原因，我們很難用 a==b來判定兩個浮點數是否相同

很自然，我們可以想到 fabs(a-b) < epsilon 這樣的一種判別方法

但是這種判別方法穩妥嗎？

它也不穩妥。

首先， epsilon是乙個絕對的資料，也就是誤差分析當中說說的絕對誤差

使用乙個固定的數值，對於float型別可以表達的整個數域來說是不可以的

比如epsilon取值為0.0001，而a和b的數值大小也是0.0001附近的，那麼顯然不合適

另外對於a和b大小是10000這樣的資料的時候，它也不合適，因為10000和10001也可以認為是相等的呢

適合它的情況只是a或者b在1或者0附近的時候

既然絕對誤差不可以，那麼自然的我們就會想到了相對誤差

bool isequal(float a, float b, float relerror )

這樣寫還不完善，因為是拿固定的第乙個引數做比較的，那麼在呼叫

isequal(a, b, relerror ) 和 isequal(b, a, relerror ) 的時候，可能得到不同的結果

同時如果第乙個引數是0的話，就有可能是除0溢位

這個可以改造

把除數選取為a和b當中絕對數值較大的即可

bool isequal(float a, float b, float relerror );}; ----------------------------- 參考ieee的浮點數格式說明對於0到1範圍內的浮點數是可以壓縮的顯然在0到1的範圍內，乙個單精度的浮點數，指數和符號位佔據9個bit 而這9個bit是可以不用的，把它去除，只保留小數部分的23bit就可以達到壓縮的目的可以把乙個浮點數從32bit，4位元組壓縮到23bit，3位元組的範圍內這也是在3dmax等一些工具軟體當中對浮點數進行壓縮儲存的方法。比如，在單位化的法向量當中，每個浮點數都是0，1範圍之間的資料正常情況下表示三維空間當中的單位化法向量就需要12個位元組而經過這個壓縮處理，只需要9個位元組 ----------------------------- 在寫了上篇浮點數的比較以及浮點數記憶體結構兩篇文章後對於浮點數的比較有新的想法我們先看正數的情況根據ieee的記憶體結構，指數在高位，尾數在低位浮點數大的對應的把其記憶體結構按照整數來理解進行比較的時候，情況也是成立的因此在這裡如果把他們進行比較的話，作為整數運算效率會非常的高，比如 float f1 = 1.23; float f2 = 1.24 f1 > f2 成立 (int&)f1 > (int&)f2 也是成立的而且，仔細研究ieee的浮點結構，可以發現在《浮點數比較》當中提到的浮點數精度的問題——不是所有的浮點數都可以精確的表達可以精確表達的浮點數實際上是有限的，就是那些ieee的各種情況的列舉了 2^32個。不能表達的佔據了大多數 ieee在32位的情況下，尾數是23位的（暗含了第乙個位數是1）對於可以精確表達的浮點數來說，如果我們把這23位當作整數來理解，它加1，就意味著可以找到比當前對應浮點數大的最小的浮點數了反之，我們把兩個浮點數，對應的整數做差值運算，得到的整數表明的是兩個浮點數之間有多少個實際可以表達的浮點數（對應的指數相同的情況下很好理解；指數不同的時候，也是同樣有效的）這樣，對於兩個正的浮點數，他們的大小比較就可以用 (int&)f1 - (int&)f2 來進行比較了差值的結果實際上就應該是相對誤差了這個相對誤差，不等同於普遍意義上的相對誤差它所表達的是，兩個浮點數之間可能還有多少個可以精確表達的浮點數這樣通過指定這個閾值來控制兩個浮點數的比較就更有效了對於兩個正的浮點數 bool isequal(float f1, float f2, int absdelta) 這裡用abs而不是fabs這在asm上面的運算差距也是很大的了對於兩個負數進行比較的情況也是相同的只不過負數記憶體對應的整數加1，相應的找到的是更小的負數而已但是負數和整數之間現在還不能進行直接的比較，因為根據ieee的記憶體結構正數和負數是不同的，對應的整數不能連續正的最小的數就是0了，對應的整數也是0x00000000 負的最小的數就是－0，對應的整數則是0x 80000000 不用奇怪－0 在ieee的表達當中是有兩個0的，乙個是 +0 乙個是-0 有趣的是，按照 f1 == f2 的判斷 +0和-0是相等的通過對比我們可以發現， +0 和正的浮點數可以按照轉換成為整數的方式直接進行比較 -0 和負的浮點數可以按照轉換成為整數的方式直接進行比較如果我們能夠把他們連線起來，整個整數方式的直接比較就完備了對比一下負數的結構，可以找到乙個簡單的辦法了：把負數記憶體對應的整數減去 -0 ，他們就連續了而且更好的結果是，所有的負數經過這次減法後，對應的整數也都是負數了這樣整個整數比較就變得連續了，而且在整個浮點數範圍內都是有效的了最後的比較演算法就是： // 函式: bool isequal(float f1, float f2, int absdelta) // 功能：把比較兩個浮點數是否近似相同 // 輸入：f1, f2參與比較的兩個浮點數 // absdelta 兩個浮點數之間允許有多少個其他可以精確表達的浮點數存在，相當於相對誤差 // 輸出: true，兩個浮點數進行相等； false 兩個浮點數不等 // 注意：僅僅適合ieee 32位浮點數結構 bool isequal(float f1, float f2, int absdelta) {int i1, i2; i1 = ( f1>0) ? ((int&)f1) : ( (int&) f1 - 0x80000000 ); i2 = (f2>0) ? ((int&)f2) : ( (int&) f2 - 0x80000000 ); return ((abs(i1-i2))

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