# 線性代數
# numpy.linalg模組包含線性代數的函式。使用這個模組，可以計算逆矩陣、求特徵值、解線性方程組以及求解行列式等。
import numpy as np
# 1. 計算逆矩陣
# 建立矩陣
a = np.mat("0 1 2;1 0 3;4 -3 8")
print (a)
#[[ 0 1 2]
# [ 1 0 3]
# [ 4 -3 8]]
# 使用inv函式計算逆矩陣
inv = np.linalg.inv(a)
print (inv)
#[[-4.5 7. -1.5]
# [-2. 4. -1. ]
# [ 1.5 -2. 0.5]]
# 檢查原矩陣和求得的逆矩陣相乘的結果為單位矩陣
print (a * inv)
#[[ 1. 0. 0.]
# [ 0. 1. 0.]
# [ 0. 0. 1.]]
# 注：矩陣必須是方陣且可逆，否則會丟擲linalgerror異常。
# 2. 求解線性方程組
# numpy.linalg中的函式solve可以求解形如 ax = b 的線性方程組，其中 a 為矩陣，b 為一維或二維的陣列，x 是未知變數
import numpy as np
#建立矩陣和陣列
b = np.mat("1 -2 1;0 2 -8;-4 5 9")
b = np.array([0,8,-9])
# 呼叫solve函式求解線性方程
x = np.linalg.solve(b,b)
print (x)
#[ 29. 16. 3.]
# 使用dot函式檢查求得的解是否正確
print (np.dot(b , x))
# [[ 0. 8. -9.]]
# 3. 特徵值和特徵向量
# 特徵值（eigenvalue）即方程 ax = ax 的根，是乙個標量。其中，a 是乙個二維矩陣，x 是乙個一維向量。特徵向量（eigenvector）是關於特徵值的向量
# numpy.linalg模組中，ei**als函式可以計算矩陣的特徵值，而eig函式可以返回乙個包含特徵值和對應的特徵向量的元組
import numpy as np
# 建立乙個矩陣
c = np.mat("3 -2;1 0")
# 呼叫ei**als函式求解特徵值
c0 = np.linalg.ei**als(c)
print (c0)
# [ 2. 1.]
# 使用eig函式求解特徵值和特徵向量 (該函式將返回乙個元組，按列排放著特徵值和對應的特徵向量，其中第一列為特徵值，第二列為特徵向量)
c1,c2 = np.linalg.eig(c)
print (c1)
# [ 2. 1.]
print (c2)
#[[ 0.89442719 0.70710678]
# [ 0.4472136 0.70710678]]
# 使用dot函式驗證求得的解是否正確
for i in range(len(c1)):
print ("left:",np.dot(c,c2[:,i]))
print ("right:",c1[i] * c2[:,i])
#left: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#right: [[ 1.78885438]
# [ 0.89442719]]
#left: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
#right: [[ 0.70710678]
# [ 0.70710678]]
# 4.奇異值分解
# svd（singular value decomposition，奇異值分解）是一種因子分解運算，將乙個矩陣分解為3個矩陣的乘積
# numpy.linalg模組中的svd函式可以對矩陣進行奇異值分解。該函式返回3個矩陣——u、sigma和v，其中u和v是正交矩陣，sigma包含輸入矩陣的奇異值。
import numpy as np
# 分解矩陣
d = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用svd函式分解矩陣
u,sigma,v = np.linalg.svd(d,full_matrices=false)
print ("u:",u)
#u: [[-0.9486833 -0.31622777]
# [-0.31622777 0.9486833 ]]
print ("sigma:",sigma)
#sigma: [ 18.97366596 9.48683298]
print ("v",v)
#v [[-0.33333333 -0.66666667 -0.66666667]
# [ 0.66666667 0.33333333 -0.66666667]]
# 結果包含等式中左右兩端的兩個正交矩陣u和v，以及中間的奇異值矩陣sigma
# 使用diag函式生成完整的奇異值矩陣。將分解出的3個矩陣相乘
print (u * np.diag(sigma) * v)
#[[ 4. 11. 14.]
# [ 8. 7. -2.]]
# 5. 廣義逆矩陣
# 使用numpy.linalg模組中的pinv函式進行求解,
# 注：inv函式只接受方陣作為輸入矩陣，而pinv函式則沒有這個限制
import numpy as np
# 建立乙個矩陣
e = np.mat("4 11 14;8 7 -2")
# 使用pinv函式計算廣義逆矩陣
pseudoinv = np.linalg.pinv(e)
print (pseudoinv)
#[[-0.00555556 0.07222222]
# [ 0.02222222 0.04444444]
# [ 0.05555556 -0.05555556]]
# 將原矩陣和得到的廣義逆矩陣相乘
print (e * pseudoinv)
#[[ 1.00000000e+00 -5.55111512e-16]
# [ 0.00000000e+00 1.00000000e+00]]
# 6. 行列式
# numpy.linalg模組中的det函式可以計算矩陣的行列式
import numpy as np
# 計算矩陣的行列式
f = np.mat("3 4;5 6")
# 使用det函式計算行列式
print (np.linalg.det(f))
# -2.0
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