二叉查詢樹

二叉查詢樹（binary search tree），也稱有序二叉樹（ordered binary tree）,排序二叉樹（sorted binary tree），是指一棵空樹或者具有下列性質的二叉樹：

若任意節點的左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於它的根結點的值；

若任意節點的右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於它的根結點的值；

任意節點的左、右子樹也分別為二叉查詢樹。

沒有鍵值相等的節點（no duplicate nodes）。

如下圖，這個是普通的二叉樹：

在此基礎上，加上節點之間的大小關係，就是二叉查詢樹：

在實現中，我們需要定義乙個內部類node，它包含兩個分別指向左右節點的node，乙個用於排序的key，以及該節點包含的值value，還有乙個記錄該節點及所有子節點個數的值number。

public class binarysearchtreesymboltable: symboltableswhere tkey : icomparable, iequatable
public node right 
public int number 
public tkey key 
public tvalue value 
public node(tkey key, tvalue value, int number)
}...}

查詢查詢操作和二分查詢類似，將key和節點的key比較，如果小於，那麼就在left node節點查詢,如果大於，則在right node節點查詢，如果相等，直接返回value。

該方法實現有迭代和遞迴兩種。

遞迴的方式實現如下：

public override tvalue get(tkey key)
else if (key.compareto(node.key) < 0)
else
}return result;
}

迭代的如下

public tvalue get(tkey key)
private tvalue getvalue(node root, tkey key)

插入插入和查詢類似，首先查詢有沒有和key相同的，如果有，更新；如果沒有找到，那麼建立新的節點。並更新每個節點的number值，**實現如下：

最大最小值如下圖可以看出，二叉查詢樹的最大最小值是有規律的：

從圖中可以看出，二叉查詢樹中，最左和最右節點即為最小值和最大值，所以我們只需迭代呼叫即可。

public override tkey getmax()
maxitem = s.key;
return maxitem;
}public override tkey getmin()
minitem = s.key;
return minitem;
}

以下是遞迴的版本：

public tkey getmaxrecursive()
private tkey getmaxrecursive(node root)
public tkey getminrecursive()
private tkey getminrecursive(node root)

floor和ceiling查詢floor(key)的值就是所有<=key的最大值，相反查詢ceiling的值就是所有》=key的最小值，下圖是floor函式的查詢示意圖：

以查詢floor為例，我們首先將key和root元素比較，如果key比root的key小，則floor值一定在左子樹上；如果比root的key大，則有可能在右子樹上，當且僅當其右子樹有乙個節點的key值要小於等於該key；如果和root的key相等，則floor值就是key。根據以上分析，floor方法的**如下，ceiling方法的**類似，只需要把符號換一下即可：

public tkey floor(tkey key)
private node floor(node x, tkey key)
}

刪除刪除元素操作在二叉樹的操作中應該是比較複雜的。首先來看下比較簡單的刪除最大最小值得方法。

以刪除最小值為例，我們首先找到最小值，及最左邊左子樹為空的節點，然後返回其右子樹作為新的左子樹。操作示意圖如下：

現在來分析一般情況，假定我們要刪除指定key的某乙個節點。這個問題的難點在於：刪除最大最小值的操作，刪除的節點只有1個子節點或者沒有子節點，這樣比較簡單。但是如果刪除任意節點，就有可能出現刪除的節點有0個，1 個，2個子節點的情況，現在來逐一分析。

當刪除的節點沒有子節點時，直接將該父節點指向該節點的link設定為null。

當刪除的節點只有1個子節點時，將該自己點替換為要刪除的節點即可。

當刪除的節點有2個子節點時，問題就變複雜了。

假設我們刪除的節點t具有兩個子節點。因為t具有右子節點，所以我們需要找到其右子節點中的最小節點，替換t節點的位置。這裡有四個步驟：

二叉查詢樹

二叉樹二叉查詢樹

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樹（樹，二叉樹，二叉查詢樹）

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