動態規劃的理解
什麼是動態規劃
動態規劃是一種非常精妙的演算法思想，它沒有固定的寫法，極其靈活，常常需要具體問題具體分析。和之前介紹的大部分演算法不同，一開始就直接討論動態規劃的概念並不是很好的學習方式，反而先接觸一些經典模型會有更好的效果。因此本章主要介紹一些動態規劃的經典模型，並在其中穿插動態規劃的概念，讓讀者慢慢接觸動態規劃。同時請讀者不要畏懼，多訓練，多思考，多總結是學習動態規劃的重點。
動態規劃(dynamic programming, dp) 是一種用來解決一類最優化問題的演算法思想。簡單來說，動態規劃將乙個複雜的問題分解成若干個子問題，通過綜合子問題的最優解來得到原問題的最優解。需要注意的是，動態規劃會將每個求解過的子問題的解記錄下來，這樣當下一次碰到同樣的子問題時，就可以直接使用之前記錄的結果，而不是重複計算。注意：雖然動態規劃採用這種方式來提高計算效率，但不能說這種做法就是動態規劃的核心(後面會說明這一點)。
一般可以使用遞迴或者遞推的寫法來實現動態規劃，其中遞迴寫法在此處又稱作記憶化搜尋。
什麼問題可以使用動態規劃解決
動態規劃的遞推寫法
以經典的數塔問題為例，如圖11-3所示，將一些數字排成數塔的形狀，其中第一層有乙個數字，第二層有兩個數字……第n層有n個數字。現在要從第一層走到第n層，每次只能走向下一層連線的兩個數字中的乙個，問：最後將路徑上所有數字相加後得到的和最大是多少？
令dp[i][j]表示從第i行第j個數字出發的到達最底層的所有路徑中能得到的最大和，例如dp[3][2]就是圖中的7到達最底層的路徑最大和。在定義這個陣列之後，dp[1][1]就是最終想要的答案，現在想辦法求出它。
注意到：dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j+1])+f[i][j]
把dp[i][j稱為問題的狀態，而把上面的式子稱作狀態轉移方程，可以發現，數塔的最後一層的dp值總是等於元素本身，即dp[n][j] == f[n][j](1<=j<=n),把這種可以直接確定其結果的部分稱為邊界，而動態規劃的遞推寫法總是從這些邊界出發，通過狀態轉移方程擴散到整個dp陣列。
這樣就可以從最底層各位置的dp值開始，不斷往上求出每一層各位置的dp值，最後就會得到dp[1][1]，即為想要的答案。
演算法**
#include
#include
#include
using namespace std;
const
int maxn =
1000
;int f[maxn]
[maxn]
,dp[maxn]
[maxn]
;int
main()
}for
(int j =
1; j <= n ; j++
) dp[n]
[j]= f[n]
[j];
for(
int i = n-
1; i >=
1; i--)}
printf
("%d\n"
,dp[1]
[1])
;// dp[1][1]即為需要的答案
return0;
}
至此，重疊子問題和最優子結構的內容已介紹完畢。需要指出，乙個問題必須擁有重疊子問題和最優子結構，才能使用動態規劃去解決。
注意：和分治法，貪心演算法的比較
分治法與動態規劃。分治和動態規劃都是將問題分解為子問題，然後合併子問題的解得到原問題的解。但是不同的是，分治法分解出的子問題是不重疊的，因此分治法解決的問題不擁有重疊子問題，而動態規劃解決的問題擁有重疊子問題。例如，歸併排序和快速排序都是分別處理左序列和右序列，然後將左右序列的結果合併，過程中不出現重疊子問題，因此它們使用的都是分治法。另外，分治法解決的問題不一定是最優化問題，而動態規劃解決的問題一定是最優化問題。
貪心與動態規劃。貪心和動態規劃都要求原問題必須擁有最優子結構。二者的區別在於，貪心法採用的計算方式類似於上面介紹的」自頂而下「，但是並不等待子問題求解完畢後再選擇使用哪乙個，而是通過一種策略直接選擇乙個子問題去求解，沒被選擇的子問題就不去求解了，直接拋棄。也就是說，它總是只在上一步選擇的基礎上繼續選擇，因此整個過程以一種單鏈的流水方式進行，顯然這種所謂"最優選擇"的正確性需要用歸納法證明。例如對數塔問題而言，貪心法從最上層開始，每次選擇左下和右下兩個數字中較大的乙個，一直到最底層得到最後結果，顯然這不一定可以得到最優解。而動態規劃不管是採用自底而上還是自頂而下的計算方式，都是從邊界開始向上得到目標問題的解。也就是說，它總是會考慮所有子問題，並選擇繼承能得到最優結果的那個，對暫時沒被繼承的子問題，由於重疊子問題的存在，後期可能會再次考慮它們，因此還有機會成為全域性最優的一部分，不需要放棄。所以貪心是一種壯士斷腕的決策，只要進行了選擇，就不後悔；動態則要看哪個選擇笑到了最後，暫時領先說明不了什麼。
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