1.heap表示方法
滿足以下性質的二叉樹binary tree可以成為binary heap：
complete tree：所有的層都是完全的，除了最後一層，且最後一層的葉子靠左。
min heap or max heap：根節點是最大值或者最小值，而且這個性質對於任何遞迴得到的子樹都成立。
binary heap通常使用array表示：
根節點在array[0];
array[(i-1)//2]返回父節點，array[2*i+1]返回左孩子樹，array[2*i+2]返回右孩子樹。
binary heap通常使用array表示，對於任意索引i：
def
parent
(i):
return
(i-1)//
2def
left
(i):
return
2*i+
1def
right
(i):
return
2*i+
2
max-heapifymax heapify是保持max-heap性質的操作，輸入為array a and index i，假設輸入時，以left(i) and right(i)為根節點的子數都滿足最大堆性質，但是以i為根節點的子數不滿足最大堆性質。max heapify函式讓a[i]向下層轉移，進行調整。
def
maxheapify
(array,i)
: l = left(i)
r = right(i)
largest = i
if l<=
len(array)
and array[l]
>array[i]
: largest = l
if r<=
len(array)
and array[r]
>array[i]
: largest = r
if largest != i:
array[largest]
,array[i]
= array[i]
,array[largest]
maxheapify(array,largest)
i作為根節點、包含n個節點的子數上執行maxheapify的時間包含：調整largest常數時間，孩子子樹執行maxheapify的時間。由於孩子子數最多有2n/3個節點（這種情況只會發生在最底層節點剛好是 half full 的情況），因此可以描述為以下形式：
t (n
)≤t(
2n/3
)+θ(
1)t(n)\leq t(2n/3)+\theta(1)
t(n)≤t
(2n/
3)+θ
(1)按照公式法可以得到時間複雜為o(lgn)。
3.build-max-heap
maxheapify前提條件是以left(i) and right(i)根節點的子數都是滿足最大堆性質的，那麼顯然如果我們從最底層的子數開始，逐漸往上，對每個節點執行maxheapify(array,i)操作，那麼這個堆所有的節點都滿足最大堆性質，變為最大堆。但是，如果我們從最上層開始執行maxheapify，那麼顯然不滿足前提條件。
另外具體從哪個節點開始呢，heap有個性質，對於array[0,1,...,n-1]的陣列，array[(n-1)//2+1:n-1]的節點全是葉節點，而葉節點是不需要maxheapify操作的，所以我們只對array[:(n-1)//2]的元素進行操作：
def
buildmaxheap
(array)
:for i in
reversed
(range((
len(array)-1
)//2+
1)):
maxheapify(array,i)
buildmaxheap的時間複雜度為o(n)，也就是說堆的建立是線性時間，而不是o(nlgn)，這是堆相對於普通排序最大的優點之一。
4.heapsort
heapsort的時間複雜度為o(nlgn)，而且是就地排序演算法，除輸入陣列只外只占用恆定的記憶體空間，這兼具了insertion sort（就地排序）和merge sort（時間複雜度）的優點。
def
maxheapify
(array,n,i)
: l =
2*i+
1 r =
2*i+
2 largest = i
if l<=n and array[l]
>array[largest]
: largest = l
if r<=n and array[r]
>array[largest]
: largest = r
if largest != i:
array[largest]
,array[i]
= array[i]
,array[largest]
maxheapify(array,n,largest)
defheapsort
(array)
: n =
len(array)
for i in
reversed
(range
(n//2)
):maxheapify(array,n-
1,i)
while n>1:
array[n-1]
,array[0]
= array[0]
,array[n-1]
n -=
1 maxheapify(array,n-1,
0)return array
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