brent演算法為什麼比floyd演算法快

問題：用乙個演算法，實現判斷是否會出現如下的有環的單鏈表

以龜兔賽跑來解釋這一演算法，尋找單鏈表中是否含有乙個圈。

一、思想：

龜和兔子同時出發，龜走一步，兔子走兩步，兔子比龜快，所以兔子一定可以追上龜，就好像在環形跑道中跑的快的運動員會從後面超過跑得慢的運動員。

//頭指標給龜和兔，初始化
tortoise = top
hare = top
forever:
//兔子走兩步
if hare == end :
return
'no loop found'
hare = hare.next
if hare == end :
return
'no loop found'
hare = hare.next
//烏龜走一步
tortoise = tortoise.next
//龜兔相遇則有環
if hare == tortoise:
return
'loop found'

二、時間複雜度分析：

令x是出發點到環的起點的距離，y是環的長度。烏龜最多走x+y步，兔子最多2（x+y）步。

下面給出證明：

（1）烏龜只能在環裡走一圈

假設：鍊錶的起點距離環的起點x長度，此時的烏龜在環裡，距離環的起點y1長度，由題目可知，當龜兔的距離等於y時，龜兔相遇，即龜兔距離差為y。

因為兔子的速度是烏龜的兩倍，所以龜兔的差距為x+y1，環的長度為y，故當烏龜走了一圈以後，龜兔之間的差距為x+y>=y。所以在烏龜還沒走完一圈，就會產生乙個臨界點，此時的龜兔恰好相遇，也就是在某一點，x+y1* ==y。

（2）由1的證明結論可知，烏龜最多在環裡面走一圈，所走的長度為x+y1*（y1* 一、思想：

龜和兔子同時出發，龜不動，兔子走1步，第二輪，烏龜跳到兔子的位置，兔子走兩步，第三輪。。。。第n輪，烏龜跳到兔子的位置，兔子走2^n步。

//初始化，兔和龜都在鍊錶的頭部 turtle = top rabbit = top steps_taken = 0//兔子每次迭代走了幾步 step_limit = 2//兔子每次迭代做多可以走幾步 forever: //如果發現兔子到頭了，結束迴圈 if rabbit == end: return 'no loop found' //兔子移動一步 rabbit = rabbit.next steps_taken +=1 //兔子和烏龜相遇，則表示有環 if rabbit == turtle: return 'loop found' //兔子這個週期移動的步數到達上限 if steps_taken == step_limit: steps_taken = 0//steps_taken初始化為0 step_limit *=2 //step_limit表示下次迭代的上限翻倍 // teleport the turtle turtle = rabbit //讓烏龜跳到兔子的位置上

二、時間複雜度分析：

證明：brent演算法中，烏龜最多在環中走一圈。

證明過程類似死於floyd的證明方式，當烏龜在環內部走了y2長度時，兔子距離烏龜為：

烏龜走了：

1+2+4…+ 2^n == x+y2

下一次兔子行走的距離為: 2^(n+1)，又

1+2+4…+ 2^n == 2^(n+1) - 1

所以龜兔距離x+y2+1

綜上所述：每一輪迭代，龜走到了x+y2的地方，兔子從x+y2出發，走到2(x+y2)+1處停止，進行下一輪迭代，兔子的速度比烏龜快一倍+1，故在環中，烏龜走到x+y之前，兔子早就與其相遇，臨界位置為y2* ，此時烏龜走了x+y2* ，兔子走了x+y2* +y(此時的y == x+y2*+1)。

1.當採用floyd演算法時，烏龜走x+y1個距離，此時龜兔距離差為x+y1

2.當採用brent演算法時，烏龜走x+y2個距離，龜兔差距x+y2+1

當x，y2和y1較大時，迭代過程中，floyd演算法要移動指標x+y1* +2(x+y1* )次（烏龜移動指標+兔子移動指標），大約是

o（3*(x+y)）

而brent演算法移動2(x+y2*) + n（n輪迭代，每次兔子的指標都要賦值給烏龜），明顯時間複雜度上brent演算法更有優勢而且大約是x+y1* +2(x+y1* )，大約是

o（2*(x+y)）

明顯，brent演算法時間複雜度低，大約快了1/3，當然，如果加上式子中n（n = log2（x+y））對結果的影響，可能提公升不到1/3.

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