一、下圖是一張
10 * 10
的數字**，**的對角線上是一系列的重複的數字，嘗試心算出表中所有的數字總和。
答案：數字總和是
1000。
像是這樣的問題，我想很多人在直覺上就會想到——找規律，的確，只要找到規律、之後的事情就變得再簡單不過了。
第一種方法：根據正方形的對稱性來計算。
左上角和
右下角數字之和為
20，平均數為10（
如：1 + 19
，2 + 18
，3 + 17
，4 + 16
等等），也就是說
**中的數字
都換成10 ，其總和也不不變。即
數字總和
為10 * 10 * 10 = 1000 。
第二種方法：逐行
或逐列來計算。
第一行的數字總和
= 1 + 2 + 3 + … + 9 + 10 = ( 1 + 10) * 10 / 2 = 55 。
第二行的數字總和
= 55 + 10
。因為第二行的每乙個數字都比第一行大1。
第三行的數字總和
= 55 + 20。
依次類推…
第十行的數字總和
= 55 + 90。
所有數字總和
= 55 + ( 55 + 10 ) + ( 55 + 20 ) + ( 55 + 30 ) + … + ( 55 + 90 ) = 55 * 10 + ( 10 + 90 ) * 9 / 2 = 1000 。
由此可見，簡單的數學求和公式在此卻起到了巨大作用。
其求和公式原型為：
1 + 2 + 3 + … + n - 1 + n = n(n + 1)/2
變形，求前
n個正偶數的和：
2 + 4 + 8 + … + 2n = 2(1 + 2 + … + n) = n(n + 1)
變形，求前
n個正奇數的和：
1 + 3 + 5 + … + (2n - 1) = (1 + 2 + 3 + … + (2n -1) + 2n ) - (2 + 4 + 6 + … + 2n) = 2n(2n + 1) / 2 - n(n + 1) = n2
另外乙個很重要的公式：
2個各個次冪之和：
2^0 +2^1
+ 2^
2+ … + 2^
n= 2^(
n+1)
- 1。
二、求任意兩個
18 位整數的乘積、其結果末尾有多少個連續的數字0。
注意：求的是結果的末尾有多少個連續的數字0.
我們假設已經計算出
兩個數的乘積為
21601..800000000。
結果可以換種表達方式為：
21601..8 * 108
又因為10只能分解為
2 * 5
，所以也可以表達為：
21601..8 * (2 * 5)8
所以我們可以利用如下方式來計算結果：
1、將兩個乘數
分解質因數
(只分解2 或
5)。 2
、分別計算質因數2 和
5 的個數。 3
、min
（質因數
2的個數，質因數
5的個數）結果即為所求。
上面說的是加法和乘法，下面說乙個關於取餘的。
三、求任意
100位的整數對
7取餘的結果。
想一想，如果我們用筆去計算該問題，我們會怎麼做呢？——除法豎式。
沒錯，我們將用最原始的，小學生都會除法豎式來解決該問題。
方法描述：
先取出100
位數的第一位，被
7除得餘數
(餘數可能為0)。
用餘數和100
位數的第二位，組成乙個兩位數或一位數
(因為餘數可能為
0)，然後被
7除得餘數。
依次類推，最後所得餘數即為所求。
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