第乙個缺失的整數

給定乙個長度為n的陣列a[0,…n-1],從1開始，找到第乙個不在陣列中的正整數。

如 [3,9,8,1,6,32]輸出為2。

思路：

求解該問題可以有三種策略，分別是暴力破解法、bitmap法和迴圈不變式方法。

方法1—暴力破解法:

看到這個題後，既然是找從1開始第乙個不在陣列a中的正整數，那最簡單最直接的反應就是我能否可以從1開始，在a中查詢這個數是否存在，若存在則找下乙個正整數，知道找到第乙個不在a中的正整數。可以很明顯可知，該演算法的時間複雜度為o(n

o(n^2)

o(n2

),空間複雜度為o(1

)o(1)

o(1)

，顯然這不是我們想要的結果。

那麼，我們進一步想，如果a是有序的話，則從頭開始查詢，找到第乙個a[i]!=i（為簡單講解，假設陣列的下標是從1開始，下同）的位置，則i即為要找的數字。因為給定的陣列a並不有序，則需要首先對a進行排序，然後在對a進行遍歷即可。則很明顯，該演算法時間複雜度主要花在對a的排序上，即使利用時間複雜度最低的排序演算法，其時間複雜度仍為o(n

∗log

o(n*logn)

o(n∗lo

gn),空間複雜度為o(1

)o(1)

o(1)

.由上可知，暴力破解法的時間複雜度太高。

方法2—bitmap法:

所謂的bitmap就是用乙個bit位來標記某個元素所對應的value，而key即是該元素。由於題目中並沒有對演算法的空間複雜度進行要求，所以我們可以進行以下操作：

首先申請乙個與a

aa長度一樣的空陣列b=[

1,..

.,n]

b=[1,...,n]

b=[1,.

..,n

] （假設陣列b

bb下標是從1

11開始）,並將所有位置初始化為−1-1

−1。然後從頭遍歷a

aa，將a[i

]a[i]

a[i]

對映到b

bb中，具體對映方式為如果a[i

1a[i]<1

a[i]

1 或者a[i

na[i]>n

a[i]

n則捨棄，否則b[a

[i]]

=a[i

]b[a[i]]=a[i]

b[a[i]

]=a[

i]。對映完成後，從1

11開始遍歷陣列b

bb，找到第乙個b[i

]!=i

b[i]!=i

b[i]!=

i的位置，i

ii即為所求。

然而這是為什麼呢？為什麼可以這樣做？

這是因為題目是從1開始找到第乙個不在陣列中的正整數，因為乙個蘿蔔乙個坑，只要a陣列中存在乙個數大於n或者小於1，那麼可以很容易得出這個缺失的正整數z

zz一定滿足z

>=1

並且

z<=n

z>= 1 並且 z<=n

z>=1

並且z<=n

或者如果a

aa陣列中的數都介於1

11和n

nn之間且互不重複，則z必等於n+1

n+1n+

1所以，上述對映和查詢方式是成立的。

bitmap法花費的總時間為2n2n

2n，空間大小為n

nn，因此bitmap演算法的時間複雜度為o(n

)o(n)

o(n)

，空間複雜度也為o(n

)o(n)

o(n)

。方法3—迴圈不變式法:

因為bitmap的時間複雜度已經是o(n

)o(n)

o(n)

數量級，對於此類查詢演算法已經不可能有數量級上的優化，即使優化也只是降低係數。但是bitmap演算法的空間複雜度也是o(n

)o(n)

o(n)

，那這個空間複雜度是否可以降低呢？

其實，歸根到底，上述bitmap方法只是在做一件事，那就是將每乙個數字都放到它應該在的位置上去。既然是這樣，我們其實可以不用申請空間，而直接對原陣列進行操作。即從前向後遍歷陣列a，將a中的每乙個數放到對的位置，知道某乙個位置的資料一直沒有被找到，那麼這個位置上的資料即為所求，上面這句話比較不好理解，那我們形式化表示一下：

假定前i−1

i-1i−

1個數已經找到，並且依次存放在a[1

,2,.

....

,i−1

]a[1,2,.....,i-1]

a[1,2,

....

.,i−

1]中，繼續考察a[i]，有三種情況:

(1) 若a[i

]a[i]

a[i]

[ i]

>=1

[i]>=1

，則a[i]在a[1,2,…,i-1]中已經出現過，可以直接丟棄。

ps:若a[i]為負，則更應該丟棄它。

(2)若a[i]>i且a[i]<=n，則a[i]應該位於後面的位置上，則將a[a[i]]和a[i]交換。

ps:若a[i]>=n,由於缺失資料一定小於n，則丟棄a[i]。

(3)若a[i]=i，則a[i]位於正確的位置上，則i加1，迴圈不變式擴大，繼續比較後面的元素。

(1) 若a[i]n，則丟棄a[i]

(2) 若a[i]>i，則將a[a[i]]和a[i]交換。

(3) 若a[i]=i,則i加1，繼續比較後面的元素。

至此，整個的演算法描述已經清楚了。

那麼現在有個問題，即如何對a[i]進行丟棄呢？

倒是可以直接多陣列中這個位置進行刪除，然後後面的所有元素往前移動，不過這樣子也太費時間了。

我們可以參考堆排序或者樹的剪枝操作，直接用最後乙個元素a[a.size()-1]去替換a[i]，然後a的長度減1。這樣子就相當於對a[i]進行了丟棄，並且也不需要進行大量的其它操作，就是進行乙個邏輯刪除。

# -*- coding: utf-8 -*-
"""created on sun jan 20 15:04:13 2019
@author: shuaifeng
"""def findfirstmissinginteger(tablea):
if tablea is none or len(tablea)==0:
return 1
endindex=len(tablea)
index=0
while indexendindex or tablea[index]index+1: #將數值放到正確的位置上去
temp=tablea[tablea[index]-1]
tablea[tablea[index]-1]=tablea[index]
tablea[index]=temp
else: #當前位置的資料在正確位置，則查詢下乙個
index=index+1
return index+1    
def main():
a=[5,1,1,9,4,10]
print(findfirstmissinginteger(a))
if __name__=="__main__":
main()

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