最近在學習位運算，正好把樹狀陣列總結下，也算是能正式給data structure建個分類。
那麼，樹狀陣列到底有什麼用呢？誠然，一樣沒什麼卵用的東西我們學它幹嘛。
下面舉個樹狀陣列的經典應用：區間求和。
假設我們有如下陣列（陣列元素從index=1開始）:
var a = [x, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];modify(index, x)表示將a[index]元素加上x，query(n, m)表示求解a[n] ~ a[m]之間元素的和。如果不了解樹狀陣列（當然假設更不了解線段樹等其他資料結構），你可能會很容易地寫下如下**：
var a = [0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9];
function query(n, m)
function modify(index, x)
query(n, m)這個操作，很容易想到用sum陣列預處理前n項的和，然後用sum[m] - sum[n-1]獲得答案。但是如果要修改a[index]的值，因為該項影響所有index之後的sum陣列元素，所以如果這樣做複雜度變為o(1)的查詢和o(n)的刪改，並沒有什麼卵用。
但是這個思路是美好的，我們可以用乙個sum陣列儲存一段特定的區間段的值。假設我們有a[1] ~ a[9]9個元素，我們根據乙個特定的規則：
sum[1] = a[1];
sum[2] = a[1] + a[2];
sum[3] = a[3];
sum[4] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4];
sum[5] = a[5];
sum[6] = a[5] + a[6];
sum[7] = a[7];
sum[8] = a[1] + a[2] + a[3] + a[4] + a[5] + a[6] + a[7] + a[8];
sum[9] = a[9];
a[1] ~ a[9]的和，即為sum[9] + sum[8]，如果要求a[1] ~ a[7]的和，即為sum[7] + sum[6] + sum[4]，如果要改變a[1]的值，改變sum陣列中和a[1]有關的項即可（即sum[1]sum[2]sum[4]sum[8]）。 這就是樹狀陣列！實現了o(logn)的查詢和刪改。但是如何將a陣列和sum陣列聯絡起來？
來觀察這個圖：
令這棵樹的結點編號為c1，c2...cn。令每個結點的值為這棵樹的值的總和，那麼容易發現（如上所說）：
c1 = a1
c2 = a1 + a2
c3 = a3
c4 = a1 + a2 + a3 + a4
c5 = a5
c6 = a5 + a6
c7 = a7
c8 = a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8
2^k（其中k為x二進位制末尾0的個數）個元素。因為這個區間最後乙個元素必然為ax，所以很明顯：cn = a(n – 2^k + 1) + ... + an，算這個2^k有乙個快捷的辦法，定義乙個函式如下即可（求解2^k即求二進位製碼右邊第一位1的值）：
int lowbit(int x)令sum = 0，轉第二步；
假如n <= 0，演算法結束，返回sum值，否則sum = sum + cn，轉第三步；
令n = n – lowbit(n)，轉第二步。
可以看出，這個演算法就是將這乙個個區間的和全部加起來。
那麼修改呢，修改乙個節點，必須修改其所有祖先，最壞情況下為修改第乙個元素，最多有log(n)的祖先。所以修改演算法如下（給某個結點i加上x）：
當i > n時，演算法結束，否則轉第二步；
ci = ci + x， i = i + lowbit(i)轉第一步。i = i + lowbit(i)這個過程實際上也只是乙個把末尾1補為0的過程。 對於陣列求和來說樹狀陣列簡直太快了!
關於這部分的**，將在下文樹狀陣列的具體三大應用中給出。
關於樹狀陣列，有一點需要注意，為了方便，樹狀陣列的a陣列基本都是從index=1開始的。
下文中樓主會分析下樹狀陣列的三大應用場景：改點求段，改段求點，改段求段。
前端也要學點資料結構 神奇的樹狀陣列的三大應用
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資料結構 樹狀陣列的幾種用法
單點修改 區間修改 單點查詢 區間查詢 洛谷p3374 洛谷p3368 洛谷p3374 includeusing namespace std intn,m int tree 2000010 int lowbit int k void add int x,intk int sum int x retu...
資料庫中樹狀資料結構的設計
img img 乙個cms頻道分類設計,大體意思是通過自定義id的方式。id 步長 2位 那麼一級分類為 01 99 varchar 20 2 10 那麼id 01 99999999999999999999 如果你覺得分類不夠用的可以加大步長,級次關係 img quote select schann...