字串匹配演算法之aho-corasick2008-12-18 16:23
aho-corasick可以認為是kmp演算法在多串查詢的擴充套件。先把所有要查詢的串放在一起建一棵trie樹。然後從源串的各個位置開始的串到trie樹里查詢。這樣每次查詢的複雜度為o（m）,m為最長的子串。總共要查n次，所以複雜度為o(nm)。這只能說是brute force演算法在多串下的擴充套件。所以還要在trie樹里新增一些轉移，使得源串在匹配過程中不出現回退。假設當前節點為i,源串匹配到字元c,如果節點i不存在c字母對應的轉移。這時候應該跳轉到乙個節點j，從trie樹根節點到這個節點的字母組成的字串，應該是從根節點組成的字串的字尾，如果有多個這樣的節點，則跳轉到最短的乙個。分析一下這個自動機在匹配時的複雜度。要匹配過程中，源串不回退，所以遍歷源串的複雜度為o（n）。但是在匹配失敗的時候，會出現跳轉，可能要跳轉很多次才可以匹配成功。但是注意一點，每次跳轉使得深度至少減1，而深度至多跟源串匹配的長度相等，所以可以跳轉的次數不會超過源串的長度，所以總的複雜度是o(n)。
要注意乙個地方，字尾關係是可以傳遞的，a是b的字尾，b是c的字尾，則a是c的字尾。所以上面的表示式，最終是把乙個串的後有字尾，從長到短串成了乙個鍊錶。
難的地方就是自動機的構造。為了便於分析，把建trie樹跟增加跳轉分成兩個過程。假設現在已經建好trie樹。要為乙個節點增加跳轉，最簡單的方法是，把根結點到它一路上的字串組成的字串，求字尾，再到trie樹里查詢，因為是求最長的字尾，所以從長到短，逐一去查詢，直至找到為止，找到的節點就是要跳轉的節點。這種方法的複雜度很高。觀察一下，假設在trie樹里，i節點是j節點的父結點,j的跳轉結點的父結點表示的串，也是i的字尾。反過來說，根據乙個節點的父結點的跳轉可以快速地找到這個結點的跳轉。假設當前節點的父結點的跳轉結點為k,下乙個要匹配的字元為c，看k是否有c的跳轉，如果沒有，則k繼續跳轉。會否出現沒有找到合法的跳轉，而k又不能再跳轉的情況呢？初始的時候，把所有節點的跳轉都指向根結點，可以避免這種情況。
在實現的時候，因為跳轉總是從深度大的結點跳到深度小的結點，所以對trie樹作廣度遍歷。現在來分析一下構造的複雜度。trie樹中結點的總數不會超過待查詢的子串的長度和。但是每個結點的查詢會進行多次跳轉。分析乙個子串它對應的一系列節點，每交跳轉會使得深度減1，而這些節點的深點至多為子典的長度，所以乙個子串對應的所有結點的構造費用之和，不會超過字串的長度，所以總的構造複雜度是跟字元長度和成正比的。
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