考試（1月5日）

題目

讀入乙個正整數n。要求將n寫成若干個正整數之和，並且使這些正整數的乘積最大。例如，n=13，則當n表示為4+3+3+3(或2+2+3+3+3)時，乘積=108為最大。輸入n

輸出思路

如何分解這個n，才能使乘積最大，這是此題的核心。

首先明白乙個定理：兩正數相差越小，其乘積就越大

證明過程如下

設正數n，y，x（n>y>x），比較n*(n-x)與n*(n-y)

我們用作差法，即用 n*(n-x)-n*(n-y)

⇒ n-x-n+y

⇒ y-x

∵ y>x

∴ n(n-x)>n(n-y) ( x < y )

看到這裡，有些人就覺得直接 n/2*(n-n/2) 就行了，既然你都分了n那你為什麼不再把n/2再分呢？

是的，這樣下去會分到n個1，乘積又變小了，所以我們就把n分成全部都是二，但n為奇數的時候會多出來乙個1，其實這時就可以把1與其中乙個2合併，成為3，畢竟我們知道 3 * x > 2 * x * 1 ( x > 0 )。

但仔細推敲就會發現乙個例外： 6

6 = 3+3 = 2+2+2，但是 3 * 3 > 2 * 2 * 2，所以，當 n >= 6 時，(n-6) * 3 * 3 >= (n-6) * 2 * 2

同樣的，若(n-6)中還有6，說明還可以分。

我們再看，n<6的時候，按照前面乙個定理就可以了，但你還是會發現它們也遵循著先分3的原則，只不過在n%3==1的時候，拿出了乙個3與1組成了兩個2，因為我們知道 x * 3 * 1 < x * 2 * 2(x 為正整數)

所以總結一下吧

先分三，再分二，不分一；有一有三取成兩個二

所以，此題就變成了一道水題，qkp和高精就行了

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define m
5005
int sum, n, len, len_3, ss;
int he[m]
, yin[m]
, ans[m]
;void
rd(int &x)
while
(isdigit
(c))
}void
qkp(int y)
;for
(int i =
1; i <= len; i ++)}
len += len_3;
while
(!linshi[len]
&& len >
0) len --
;for
(int i =
1; i <= len; i ++
)                he[i]
= linshi[i];}
y /=2;
int linshi[m*
4]=;
for(int i =
1; i <= len_3; i ++)}
len_3 *=2;
len_3++
;while
(!linshi[len_3]
&& len_3 >
0) len_3 --
;for
(int i =
1; i <= len_3; i ++
)            yin[i]
= linshi[i];}
} int main()
else
if( n%3==
1)else
sum = n/3;
qkp(sum)
;for
(int i =
1; i <= len; i ++)if
( ans[len+1]
) len++
;printf
("%d\n"
, len)
;for
(int i = len; i >=
max(
1,len-99)
; i --
)printf
("%d"
, ans[i]);
return0;
}

題目

給出乙個長度為n的整數序列，求出包含它的第k個元素的最長上公升子串行。

輸入第一行n與k

第二行n個元素

輸出如題目的所說的子串行的長度（0 < k <= n < 200000）

思路此題肯定不一般呀，樸素一定爆啊，所以沒學過最長上公升子串行優化方法的同學先補下課咩——點這裡哦

我們分兩段，1-k 和 k-n

1-k這段我們只要找到ak最後代替後所在的位置就行了

而如何搞k-n這一段呢？

如果我們單純從k-n，萬一這一段中有比ak小的，那麼這樣順著來的lis就可能不會含有ak，就會wa。

所以我們倒著來，這樣就和1-k這一段的方法一樣，那麼就會發現乙個問題，這樣倒著來是要搞乙個下降啊，那麼如何把大的變小，小的反而變大呢，其實很簡單，把它變為它的相反數，這樣我們就可以從n-k的順序來求n-k這一段的下降子串行，即為k-n的上公升子串行，因為算了兩次ak，所以需要減1

#include 
#include 
#include 
#include 
using namespace std;
#define m 200005
#define inf 0x3f3f3f3f
int n, k,
len, len1;
int a[m]
, dp[m]
, dp_[m]; 
void rd(
int&x)
while
( isdigit(c)
)    x *= f;
}int main(
)for
(int i =
1; i <= k; i ++)
for(
int i = k; i <= n; i ++)
a[i]*=-
1;for(
int i = n; i >= k; i --)
printf(
"%d\n"
,len
+len1-1)
;return0;
}

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2023年1月5日知識回顧

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