最大流學習筆記（2）

1 基本的ford-fulkerson方法。該方法的思想就是每次找到乙個增廣路$p$，然後將增廣路 $p$對應的流加到之前的流上得到新的流，一直這樣直到找不到增廣路，這時候找到的流就是最大流。

演算法的偽**如下

假設容量是整數，最大流為$f^$，那麼while迴圈最多執行$|f^|$次，因為每次至少使得流量增加1，每次找增光路的代價是$o(e)$，所以總的複雜度是$o(e|f^|)$

2 edmonds-karp演算法。edmonds-karp演算法是對ford-fulkerson的改進，具體就是每次找增廣路時找的是s到t的最短路（路徑邊長為1）。設$\delta_(u,v)$表示殘存網路中從$u$到$v$的最短路徑

3 如果edmonds-karp演算法執行在流網路g上，那麼對所有的節點$v\in v-\$，殘存網路$g_$中的最短路徑距離$\delta_(s,v)$隨著每次流量的遞增而單調遞增。

4 如果edmonds-karp演算法執行在流網路g上，則該演算法所執行的流量遞增的總次數為$o(ve)$

5 edmonds-karp演算法每次找最短路徑的複雜度是$o(e)$，所以總的複雜度是$o(ve^)$

以下為證明

3的證明

假設對於某個節點$v\in v-\$，存在乙個流量遞增的操作使得源點到$v$的距離變小了。設$f$是最短路徑減少之前的流量，對應的殘存網路為$g_$,$f^$是遞增之後的流量,對應的殘存網路為$g_}$,設$v$為在所有最短距離減少的節點中,$\delta_}(s,v)$最小的節點。有$\delta_}(s,v)

設$p=s\sim u\rightarrow v$為殘存網路$g_}$中從源節點s到$v$的一條最短路徑，因此$(u,v)\in g_}$,並且$\delta_}(s,u)=\delta_}(s,v)-1$

源節點到$u$的距離沒有減少，所以$\delta_}(s,u)\geq \delta_(s,u)$

那麼一定有$(u,v)\notin e_$，否則：

$\delta_(s,v)\leq \delta_(s,u)+1$

$\leq \delta_}(s,u)+1$

$=\delta_}(s,v)$

這與$\delta_}(s,v)

那麼現在$(u,v)\notin e_$但是$(u,v)\in e_}$,這一遞增操作一定是增加了$v$到$u$的流量。又因為edmonds-karp演算法總是沿著最短路徑增加流，所以在$g_$中從s到$u$的最短路徑上的最後一條邊是$(v,u)$，所以

$\delta_(s,v)=\delta_(s,u)-1$

$\leq \delta_}(s,u)-1$

$=\delta_}(s,v)-2$

這與$\delta_}(s,v)

4的證明

在$g_$中，如果一條路徑$p$的殘存容量是該路徑上的邊$(u,v)$的殘存容量，即$c_(p)=c_(u,v)$，那麼我們稱$(u,v)$為關鍵邊。下面首先證明對於每條邊來說，成為關建邊的次數最多為$\frac$

當$(u,v)$第一次成為關鍵邊時有$\delta_(s,v)=\delta_(s,u)+1$

之後邊$(u,v)$將從殘存網路中消失。到下一次$(u,v)$成為關鍵邊時，一定在之前$(v,u)$出現在了路徑$p$上，假設這一事件發生時$f^$是g的流，那麼有

$\delta_}(s,u)=\delta_}(s,v)+1$

由於$\delta_(s,v)\leq \delta_}(s,v)$

那麼有$\delta_}(s,u)=\delta_}(s,v)+1\geq \delta_(s,v)+1=\delta_(s,u)+2$，也就是到$u$的距離增加了至少2

初始時到$u$的距離至少為0，最後到$u$的距離最多為$|v|-2$（$(u,v)$出現在增廣路徑上意味著$u\neq t$,同時$u\neq s$）.所以在$(u,v)$第一次成為關建邊後還最多能成為$\frac=\frac-1$次關建邊，所以一共最多成為$\frac$次關建邊。

一共有$|e|$條邊，所以一共有最多$\frac$條關建邊，每條增廣路至少出現一條關建邊，所以總次數為$o(ve)$

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