華電北風吹
天津大學認知計算與應用重點實驗室
日期：2015/12/11
高斯判別分析屬於生成模型，模型終於學習乙個特徵-類別的聯合概率。
0 多維正態分佈
確定乙個多維正態分佈僅僅須要知道分布的均值向量μ∈
rn×1
和乙個協方差矩陣σ∈
rn×n
. 其概率密度函式例如以下： p(
x;μ,
σ)=1
(2π)
n/2|
σ|1/
2exp
(−12
(x−μ
)tς−
1(x−
μ))(0)
一、高斯判別分析
適用範圍：輸入特徵是連續
模型表述： y∼
bern
oull
i(ϕ)
(1-1)x|
y=0∼
n(μ0
,σ)()
x|y=
1∼n(
μ1,σ
)()結合公式0能夠將公式1-1寫為： p(
y)=ϕ
y(1−
ϕ)1−
y(1-2)p(
x|y=
0)=1
(2π)
n/2|
σ|1/
2exp
(−12
(x−μ
0)tς
−1(x
−μ0)
)()p(
x|y=
1)=1
(2π)
n/2|
σ|1/
2exp
(−12
(x−μ
1)tς
−1(x
−μ1)
)()能夠看到對於二分類高斯判別分析。模型的引數是ϕ,
μ0,μ
1,σ。注意到這裡的兩個n維正態分佈公用了乙個協方差矩陣。
對於m個輸入樣本，有 p(
x(i)
,y(i
);ϕ,
μ0,μ
1,σ)
=p(y
(i);
ϕ)p(
x(i)
|y(i
);μ,
σ)(1-3)
easy得到對數似然函式例如以下 l(
ϕ,μ0
,μ1,
σ)=log∏m
i=1p
(x(i
),y(
i);ϕ
,μ0,
μ1,σ
)(1-4)
求解似然函式最大化得到高斯判別分析的模型引數解形式例如以下： ϕ=
1m∑m
i=11
(1-5)μ0
=∑mi
=11x
(i)∑
mi=1
1()μ1
=∑mi
=11x
(i)∑
mi=1
1()σ=
1m∑m
i=1(
x(i)
−μy(
i))(
x(i)
−μy(
i))t
() 二、高斯判別分析與邏輯回歸
能夠easy寫出高斯判別分析的預測函式。因為是生成模型。模型存在兩種輸出p(
y=1|
x。ϕ,
μ0,μ
1,σ)
和p(y
=0|x
；ϕ,μ
0,μ1
,σ)。在這裡重點關注第乙個。 p(
y=1|
x。ϕ,
μ0,μ
1,σ)
=p(y
=1|x
)p(y
=1|x
)+p(
y=0|
x)(2-1)
經過變換，分解組合等變換操作能夠得到例如以下形式： p(
y=1|
x。ϕ,
μ0,μ
1,σ)
=11+
e−θt
x(2-2)
注：分子分母同除以分子，消除同類項。係數轉化為指數上的指數，矩陣展開相減消除等簡單操作就可以得到。
儘管能夠得到相似的格式。可是高斯判別分析與邏輯回歸仍然存在非常大差別：
1、模型性質：高斯判別分析屬於生成模型。邏輯回歸屬於判別模型
2、p(y=1|x)和p(y=0|x)在邏輯回歸中和為1。在高斯判別分析中不存在這個性質。
3、模型如果：高斯判別分析如果樣本特徵在每乙個類別下分別服從於各異的高維正態分佈。邏輯回歸是類別標籤滿足伯努利分布如果下的廣義線性模型。
ML 高斯判別分析
華電北風吹 天津大學認知計算與應用重點實驗室 日期 2015 12 11 高斯判別分析屬於生成模型，模型最終學習乙個特徵 類別的聯合概率。0 多維正態分佈 確定乙個多維正態分佈只需要知道分布的均值向量 rn 1 和乙個協方差矩陣 rn n 其概率密度函式如下 p x 1 2 n 2 1 2exp 1...
高斯判別分析
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