動態規劃之Fib數列類問題應用

一，問題描述

有個小孩上樓梯，共有n階樓梯，小孩一次可以上1階，2階或者3階。走到n階樓梯，一共有多少種走法？

二，問題分析

dp之自頂向下分析方式：

爬到第n階樓梯，一共只有三種情況(全劃分，加法原理)，從第n-1階爬1階到第n階；從第n-2階爬2階到第n階；從第n-3爬3階到第n階。

故：way(n)=way(n-1)+way(n-2)+way(n-3)

這與求fib數列非常相似，當然，其他類似的問題也可以這樣求解。

初始條件：

way(1)=1

way(2)=2

way(3)=4

這裡解釋一下way(3)=4。爬到第3層一共有4種方式：每次爬一層，1+1+1=3；先爬一層，再爬二層，1+2=3；先爬二層，再爬一層，2+1=3；一次性爬三層。 

三，**實現

public

class
waysofladder 
//遞迴演算法爬上第n階樓梯一共需要多少種方式
private
static
int waysladder(int
n)    
//dp
public
static
int ways_dp(int
n)        
return
res;
}public
static
void
main(string args) 
}

上面**清晰地對比了dp實現與遞迴實現的方式。dp是用三個變數儲存當前計算的結果，當計算下乙個結果時，先「查表」再計算。而遞迴則是使用三個遞迴函式呼叫，遞迴函式呼叫計算了大量的重疊的子問題，每次遞迴呼叫都要壓棧、出棧。遞迴的時間複雜度為o(3^n)，而dp的時間複雜度為o(n)

類似的思想，還有計算楊輝三角的公式：c(n,r)=c(n-1,r) + c(n-1,r-1)

只不過楊輝三角的計算公式有兩個引數而已。

另外，相關問題可參考：組合問題與動態規劃的聯絡之應用

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