看到科學網上幾篇關於卷積的博文，也頗為受益。的確，卷積是乙個極為重要的運算，其定義事實上是自然的。但由於我們教材中過於拘泥於形式，從而使得學生感覺這是個天上掉下來的東西。我第一次接觸卷積之時便有此感覺。不過，在後期逐漸接觸之中，形成了一些自己的淺見，並在課堂之上經常提起。僅記於此，以為交流之便宜。
首先，卷積的定義是如何而來？事實上，卷積命名讓人有些疏離之感。但是，倘若我們將其稱之為「加權平均積」，那便容易接受的多。的確，卷積的離散形式便是人人會用的加權平均，而連續形式則可考慮為對連續函式的加權平均。假如我們觀測或計算出一組資料。但資料由於受噪音的汙染並不光滑，我們希望對其進行人工處理。那麼，最簡單的方法就是加權平均。例如，我們想對資料x_j進行修正，可加權平均為
w/2*x_+(1-w)x_j+w/2 *x_。
此處，w為選擇的權重，如果可選擇0.1等等。
這裡實際上是用兩邊的資料對中間的資料進行了一點修正。上面的公式，實際上是兩個序列在做離散卷積，其中乙個序列是
......0,0,w/2,1-w,w/2,0,0......，
另乙個序列是
.....,x_1,x_2,x_3,......
將上述簡單的思想推而廣之，便是一般的卷積。若把序列換為函式，則就是我們通常卷積的定義。這時候，你可以考慮為乙個函式對另外乙個函式做加權平均。不過，乙個扮演的是權重角色，另乙個則扮演被平均的角色。
那麼，卷積為什麼重要？猶如乘積無處不在，卷積也是無處不在的。究其原因就便是：卷積是頻域上的乘積！
但凡對fourier變換有些了解，便知道乙個函式可從兩個方面來看：時域和頻域。fourier變換宛如西遊記中的照妖鏡，任何函式在其面前都會展現出另外一面。所以，很多時候我們如果對乙個函式看不清楚，那就在照妖鏡裡看一下，做一下fourier變換，便會豁然開朗。而函式的性質，經過fourier變換之後，也會有與之相對應的性質。例如，函式的光滑性經過fourier變換後，便是其在無窮遠處趨向於0的速度。那麼，函式的乘積經過fourier變換後，便是卷積！因此，卷積實際上是乘積的另外一面，不過這一面需要借助照妖鏡才可以看到，所以讓我們感覺有些陌生。卷積，fourier變換與乘積是緊密聯絡在一起的。因此：
有卷積的地方，便會有fourier變換；有fourier變換的地方，便會有卷積！
想想fourier變換的應用範圍，便不難理解卷積的重要。
說了半天，我們的學生，甚至於數學專業的大學畢業生，為什麼會對卷積感覺莫測與神奇呢？我在以前的博文裡面提過，我們大學的數學教育似乎比較輕視fourier變換。事實上，我們承襲了中學數學教育的傳統，喜歡在技巧性強的地方大做文章。高等數學裡面，兩個地方學生花費時間甚多：一是中值定理，一是不定積分。因為這兩處最容易出現技巧性強的題目。但是，對於fourier變換這種帶有新思想的地方卻著力不足。就像我前面所說：有卷積的地方，便會有fourier變換。也就不難理解，學生對卷積陌生的根本原因是教學方面對fourier變換的輕視。
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