問題提出：
n個人（編號1~n)圍成乙個圈，從1開始依次報數，報到m的出列，剩下的人繼續從1開始報數（由剛出列的人的下乙個人開始）。求最後出列的人（勝利者）的編號。
為了討論方便，先把問題稍微改變一下，並不影響原意：
問題描述：
n個人（編號
0~(n-1))，從0
開始報數，報到
(m-1)
的退出，剩下的人繼續從
0開始報數。求勝利者的編號。
我們知道第乙個人
(編號一定是
m%n-1)
出列之後，剩下的
n-1個人組成了乙個新的約瑟夫環（以編號為
k=m%n
的人開始）
:k k+1 k+2 ... n-2, n-1, 0, 1, 2, ... k-2，
並且從k
開始報0。
現在我們把他們的編號做一下轉換：
k --> 0
k+1 --> 1
k+2 --> 2
...k-2 --> n-2
變換後就成為了
(n-1)
個人報數的子問題，假如這個子問題的解：
x是勝利者，那麼根據上表尋找
x對應的值，這個值就是
n個人時的解。變回去的公式：
x'=(x+k)%n=(x+m)%n.
如何知道
(n-1)
個人報數的問題的解？對，只要知道
(n-2)
個人的解就行了。
(n-2)
個人的解呢？當然是先求
(n-3)
的情況----
這顯然就是乙個倒推問題。
令f[i]表示i
個人玩遊戲報
m退出最後勝利者的編號，最後的結果自然是
f[n]
遞推公式
f[1]=0;
f[i]=(f[i-1]+m)%i; (i>1)
有了這個公式，我們要做的就是從
1至n順序算出
f[i]
的數值，最後結果是
f[n]
。因為實際生活中編號總是從
1開始，我們輸出
f[n]+1
這個演算法的時間複雜度為o(n)。
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫 問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死...
約瑟夫問題 約瑟夫環
約瑟夫問題 有時也稱為約瑟夫斯置換，是乙個出現在電腦科學和數學中的問題。在計算機程式設計的演算法中，類似問題又稱為約瑟夫環。又稱 丟手絹問題 據說著名猶太歷史學家 josephus有過以下的故事 在羅馬人占領喬塔帕特後，39 個猶太人與josephus及他的朋友躲到乙個洞中，39個猶太人決定寧願死也...
約瑟夫問題
這是17世紀的法國數學家加斯帕在 數目的遊戲問題 中講的乙個故事 15個教徒和15 個非教徒在深海上遇險，必須將一半的人投入海中，其餘的人才能倖免於難，於是想了乙個辦法 30個人圍成一圓圈，從第乙個人開始依次報數，每數到第九個人就將他扔入大海，如此迴圈進行直到僅餘15個人為止。問怎樣排法，才能使每次...