(小規模)b牌棋盤完美覆蓋數
農夫三拳@seu([email protected])
考慮乙個普通的西洋棋棋盤，它被分成8*8（8行8列）的64個正方形。設有形狀一樣的多公尺諾骨牌，每張牌恰好覆蓋棋盤上相鄰的兩個方格（即1*2的骨牌）。那麼能否把32個這樣的1*2骨牌放到棋盤上，使得任何兩張牌均不重疊，每張多公尺諾骨牌覆蓋兩個方格，並且棋盤上所有的方格都被覆蓋住？我們把這樣一種排列稱為被多公尺諾骨牌的完美覆蓋。這是乙個簡單的排列問題，人們能夠很快構造許多不同的完美覆蓋。但是計算不同的完美覆蓋的總數就不是一件容易的事了，不過，這還是有可能做到的。這個數由m.e.fischer在其一篇名為statistical mechanics of dimers on a plane lattice的**中計算出了不同的完美覆蓋總數為： 12988816 = 24 * （901)2 。而後fischer得出了更一般的公式用來求解1*2骨牌覆蓋m*n（m，n至少乙個為偶數)方格的公式，
分析完上面的問題，大家自然會有乙個問題，對於一般的1*b的方格來覆蓋m*n的棋盤，完美覆蓋數又是多少呢？這裡，我們稱1*b的方格為b-牌(b-omino)。乙個已知的事實是，如果乙個m*n的棋盤擁有b牌的完美覆蓋，那麼b是m的乙個因子或者b是n的乙個因子。本文將給出01）b=1 的情況
顯然，覆蓋方法數只有1種
2）b=2的情況
前面提到了fischer的三角公式，但是有個問題，如果結果很大的時候，需要給出取模解的時候，用公式就顯得力不從心了。
i)而我們發現當n=2的時候，結果數剛好是fibonacci數列。對於m較大可以用矩陣冪演算法解決。
ii)n=3的時候可以推倒出遞推式
以及邊界條件
其中am代表在左上角將第一塊骨牌橫著放的總方案數，bm代表在左上角豎著放第一塊骨牌的方案數。
不難得出am的表示式，繼而使用矩陣冪求出大資料求模的解。周源在wc08的講稿中給出了am和bm的生成函式：
iii) n>3的情況。其實我們注意到b=2，應該能夠考慮到二進位制，繼而考慮到狀態壓縮動態規劃。首先dfs出相鄰兩行的狀態轉移方式sfrom->sto,繼而用動態規劃轉移得到每行的方案數hs。不難看出時間複雜度為o(m*2n)。菜魚同學利用特徵方程計算了每行的方案數hs
=n。因此乙個更加精確的時間複雜度為o(m*0.85*2.414n), 不難看出這裡n的範圍比較小，一般小於12。
3) b=3的情況或者b=4的情況
均可以利用上述推倒遞推關係的方法求解。
最後推薦幾個相關的資料供讀者參考：
馮躍峰. 棋盤上的組合數學.[m]. 上海：上海教育出版社，1998.
沈曉斌 棋盤的1*3骨牌骨牌覆蓋的技術.[j]. 泉州師專學報, 1997,(2)
沈曉斌等1*4格牌覆蓋棋盤的計數.[j]. 泉州師專學報, 2000,(2)
b牌棋盤完美覆蓋
考慮乙個普通的西洋棋棋盤，它被分成8 8 8行8列 的64個正方形。設有形狀一樣的多公尺諾骨牌，每張牌恰好覆蓋棋盤上相鄰的兩個方格 即1 2的骨牌 那麼能否把32個這樣的1 2骨牌放到棋盤上，使得任何兩張牌均不重疊，每張多公尺諾骨牌覆蓋兩個方格，並且棋盤上所有的方格都被覆蓋住？我們把這樣一種排列稱為...
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