一類棋盤互不攻擊問題
農夫三拳@seu([email protected])
最近在sgu上做了一些棋盤上互不攻擊的題目，稍稍的總結一下：
1. sgu 220 little bishops 以及 sgu 221 big bishops
問題: 求n*n的棋盤上放置k個互不攻擊的象的個數。
解法: 將棋盤旋轉45度之後，轉換成二維動態規劃求解。具體參見 黑書243~244頁
轉移的方程為 f(i,j) = f(i - 1, j) + f(i - 1, j - 1) * (ri - j + 1)
其中f(i,j)表示前i行放置j個象的總數，ri表示第i行的格仔總數。那麼顯然f(i - 1, j)就是第i行不放任何象，f(i - 1, j - 1) * (ri - j + 1)表示第i行放置1個象的情況。
2. sgu 222 little rooks
問題: 求n*n的棋盤上放置k個互不攻擊的車的個數。
解法: 組合公式，挑選k個行c(n,k)，挑選k個列的排列a(n,k)，所以總數為c(n,k)*a(n,k)
3. sgu 223 little kings
問題: 求n*n的棋盤上放置k個互不攻擊的王的個數。
解法: 狀態壓縮動態規劃。dfs預處理兩行之間的轉移狀態。
方程為: f(i, j2, k) = sigma
f(i,j2,k)表示第i行狀態為j，前i行放置k個王的總數， f(i - 1, j1, k - one(j2)) 為第i - 1行狀態為j1(且j1和j2可以轉移)，前i - 1行放置 k - one(j2)個王的總數。
顯然one(j2)為第i行放置的王的個數。
4. sgu 224 little queens
問題: 求n*n的棋盤上放置k個互不攻擊的後的個數。
解法: 參加我的這篇文章 《k皇后問題》
5. sgu 225 little knights
問題: 求n*n的棋盤上放置k個互不攻擊的馬的個數。
解法: 我的解法還做得不好，用的是和3中提到的相同的方法，不過時間複雜度太高了，貌似只能打表交。
我是用f(i,j2,j1,k)表示第i行狀態為j2，第i-1行狀態為j1,前i行放置k個馬的總數，那麼有
f(i,j2,j1,k) = sigma j0和j1能夠轉移到j2
不知道有沒有更好的解法，希望過路大牛指教下。
小結：
對於在棋盤上放置棋子互不攻擊的問題，如果問最值問題，例如：n*n的棋盤上最多能夠放多少個互不攻擊得象等等，問題通常可以轉換為二分圖模型來求解。
而對於更加通用的n*n棋盤上放置k個互不攻擊的棋子的問題，我知道的做法有兩種，一種是用容斥原理，另外一種就是狀態壓縮。其中後者更加通用一些。
歡迎指教！
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