整數劃分演算法原理與實現

整數劃分問題是將乙個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。

如6的整數劃分為 6

5 + 1

4 + 2, 4 + 1 + 1

3 + 3, 3 + 2 + 1, 3 + 1 + 1 + 1

2 + 2 + 2, 2 + 2 + 1 + 1, 2 + 1 + 1 + 1 + 1

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

共11種。下面介紹一種通過遞迴方法得到乙個正整數的劃分數。

遞迴函式的宣告為 int split(int n, int m);其中n為要劃分的正整數，m是劃分中的最大加數(當m > n時，最大加數為n)，

1 當n = 1或m = 1時，split的值為1，可根據上例看出，只有乙個劃分1 或 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

可用程式表示為if(n == 1 || m == 1) return 1;

2 下面看一看m 和 n的關係。它們有三種關係

(1) m > n

在整數劃分中實際上最大加數不能大於n，因此在這種情況可以等價為split(n, n);

可用程式表示為if(m > n) return split(n, n);   

(2) m = n

這種情況可用遞迴表示為split(n, m - 1) + 1，從以上例子中可以看出，就是最大加

數為6和小於6的劃分之和

用程式表示為if(m == n) return (split(n, m - 1) + 1);

(3) m < n

這是最一般的情況，在劃分的大多數時都是這種情況。

從上例可以看出，設m = 4，那split(6, 4)的值是最大加數小於4劃分數和整數2的劃分數的和。

因此，split(n, m)可表示為split(n, m - 1) + split(n - m, m)

根據以上描述，可得源程式如下：

#include 

<

stdio.h

>

intsplit(

intn, 

intm)

intmain()

將正整數劃分成連續的正整數之和

如15可以劃分成4種連續整數相加的形式： 15

7 84 5 6

1 2 3 4 5

首先考慮一般的形式，設n為被劃分的正整數，x為劃分後最小的整數，如果n有一種劃分，那麼

結果就是x,如果有兩種劃分，就是x和x x + 1， 如果有m種劃分，就是 x 、x x + 1 、 x x + 1 x + 2 、... 、x x + 1 x + 2 ... x + m - 1

將每乙個結果相加得到乙個公式(i * x + i * (i - 1) / 2) = n，i為當前劃分後相加的正整數個數。

滿足條件的劃分就是使x為正整數的所有情況。

如上例，當i = 1時，即劃分成乙個正整數時，x = 15， 當i = 2時， x = 7。

當x = 3時，x = 4， 當x = 4時，4/9，不是正整數，因此，15不可能劃分成4個正整數相加。

當x = 5時，x = 1。

這裡還有乙個問題，這個i的最大值是多少？不過有一點可以肯定，它一定比n小。我們可以做乙個假設，

假設n可以拆成最小值為1的劃分，如上例中的1 2 3 4 5。這是n的最大數目的劃分。如果不滿足這個假設，

那麼 i 一定比這個劃分中的正整數個數小。因此可以得到這樣乙個公式i * (i + 1) / 2 <= n，即當i滿足

這個公式時n才可能被劃分。

綜合上述，源程式如下

intsplit1(

intn)

}returnm;}

整數劃分演算法原理與實現

整數劃分問題是將乙個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。如6的整數劃分為 65 1 4 2,4 1 1 3 3,3 2 1,3 1 1 1 2 2 2,2 2 1 1,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 共11種。下面介紹一種通過遞迴方法得到乙個正整數的劃分數...

整數劃分演算法原理與實現

整數劃分問題是將乙個正整數n拆成一組數連加並等於n的形式，且這組數中的最大加數不大於n。如6的整數劃分為 6 5 1 4 2,4 1 1 3 3,3 2 1,3 1 1 1 2 2 2,2 2 1 1,2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 共11種。下面介紹一種通過遞迴方法得到乙個正整數的劃分...

整數劃分演算法

將正整數n表示成一系列正整數之和 n n1 n2 nk，其中n1 n2 nk 1，k 1。正整數n的這種表示稱為正整數n的劃分。輸入 乙個正整數n 輸出 n不同劃分個數以及n的劃分結果。例如正整數6有如下11種不同的劃分 6 5 1 4 2，4 1 1 3 3，3 2 1，3 1 1 1 2 2 2...