哥尼斯堡七橋問題
18世紀在哥尼斯堡城(今俄羅斯加里寧格勒)的普萊格爾河上有7座橋，將河中的兩個島和河岸鏈結，如圖1所示。城中的居民經常沿河過橋散步，於是提出了一 個問題：能否一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次，最後仍回到起始地點。這就是七橋問題，乙個著名的圖論問題。
這個問題看起來似乎不難，但人們始終沒有能找到答案，最後問題提到了大數學家尤拉那裡。尤拉以深邃的洞察力很快證明了這樣的走法不存在。尤拉是這樣解決問 題的：既然陸地是橋梁的連線地點，不妨把圖中被河隔開的陸地看成a、b、c、d4個點，7座橋表示成7條連線這4個點的線，如圖2所示。
於是「七橋問題」就等價於圖3中所畫圖形的一筆畫問題了。尤拉注意到，每個點如果有進去的邊就必須有出來的邊，從而每個點連線的邊數必須有偶數個才能完成 一筆畫。圖3的每個點都連線著奇數條邊，因此不可能一筆畫出，這就說明不存在一次走遍7座橋，而每座橋只許通過一次的走法。尤拉對「七橋問題」的研究是圖 論研究的開始，同時也為拓撲學的研究提供了乙個初等的例子。
哥德**猜想
2023年德國人哥德**給當時住在**彼得堡的大數學家尤拉寫了一封信，在信中提出兩個問題：第一，是否每個大於4的偶數都能表示為兩個奇質數之和？如 6=3+3，14=3+11等。第二，是否每個大於7的奇數都能表示3個奇質數之和？如9=3+3+3，15=3+5+7等。這就是著名的哥德**猜想。 它是數論中的乙個著名問題，常被稱為數學皇冠上的明珠。
實際上第乙個問題的正確解法可以推出第二個問題的正確解法，因為每個大於7的奇數顯然可以表示為乙個大於4的偶數與3的和。2023年，蘇聯數學家維諾格 拉多夫利用他獨創的「三角和」方法證明了每個充分大的奇數可以表示為3個奇質數之和，基本上解決了第二個問題。但是第乙個問題至今仍未解決。由於問題實在 太困難了，數學家們開始研究較弱的命題：每個充分大的偶數可以表示為質因數個數分別為m、n的兩個自然數之和，簡記為「m+n」。2023年挪威數學家布 龍證明了「9+9」；以後的20幾年裡，數學家們又陸續證明了「7+7」，「6+6」，「5+5」，「4+4」，「1+c」，其中c是常數。2023年中 國數學家王元證明了「3+4」，隨後又證明了「3+3」，「2+3」。60年代前半期，中外數學家將命題推進到「1+3」。2023年中國數學家陳景潤證 明了「1+2」，這一結果被稱為「陳氏定理」，至今仍是最好的結果。陳景潤的傑出成就使他得到廣泛讚譽，不僅僅是因為「陳氏定理」使中國在哥德**猜想的 證明上處於領先地位，更重要的是以陳景潤為代表的一大批中國數學家克服重重困難，不畏艱險，永攀高峰的精神將鼓舞和激勵有志青年為使中國成為21世紀世界 數學大國而奮鬥!
費馬大定理
300多年以前，法國數學家費馬在一本書的空白處寫下了乙個定理：
「設n是大於2的正整數，則不定方程xn
+yn=zn
沒有非零整數解」。
費馬宣稱他發現了這個定理的乙個真正奇妙的證明，但因書上空白太小，他寫不下他的證明。300多年過去了，不知有多少專業數學家和業餘數學愛好者絞盡腦汁企圖證明它，但不是無功而返就是進展甚微。這就是純數學中最著名的定理—費馬大定理。
費馬(2023年～2023年)是一位具有傳奇色彩的數學家，他最初學習法律並以當律師謀生，後來成為議會議員，數學只不過是他的業餘愛好，只能利用 閒暇來研究。雖然年近30才認真注意數學，但費馬對數論和微積分做出了第一流的貢獻。他與笛卡兒幾乎同時創立了解析幾何，同時又是17世紀興起的概率論的 探索者之一。費馬特別愛好數論，提出了許多定理，但費馬只對其中乙個定理給出了證明要點，其他定理除乙個被證明是錯的，乙個未被證明外，其餘的陸續被後來 的數學家所證實。這唯一未被證明的定理就是上面所說的費馬大定理，因為是最後乙個未被證明對或錯的定理，所以又稱為費馬最後定理。費馬大定理雖然至今仍沒 有完全被證明，但已經有了很大進展，特別是最近幾十年，進展更快。2023年瓦格斯塔夫證明了對小於105的素數費馬大定理都成立。2023年一位年輕的 德國數學家法爾廷斯證明了不定方程xn
+yn=z只 能有有限多組解，他的突出貢獻使他在2023年獲得了數學界的最高獎之一費爾茲獎。2023年英國數學家威爾斯宣布證明了費馬大定理，但隨後發現了證明中 的乙個漏洞並作了修正。雖然威爾斯證明費馬大定理還沒有得到數學界的一致公認，但大多數數學家認為他證明的思路是正確的。毫無疑問，這使人們看到了希望。
西爾維斯特問題
數學史上有這樣一件趣事，名流權威所不能解決的問題，卻被「無名小卒」解決了，這就是西爾維斯特問題。
西爾維斯特(2023年～2023年)是英國著名數學家，他曾提出過乙個很有趣的幾何猜想(即西爾維斯特問題)：平面上給定n個點(n≥3)。如果過其中任意兩點的直線都經過這些點中的另乙個點，那麼，這n個點在同一條直線上。
這個看起來好像很容易的問題，卻難倒了不少數學家。甚至西爾維斯特本人直到逝世也沒有能夠解決它。50年過去了，許多著名數學家的探索都以失敗告終。 但出人意料的是，該問題最終卻被一位「無名小卒」解決了。之所以說是「無名小卒」，是因為《美國科學新聞》《數學教師》等雜誌在宣布這一問題的解答時，都 沒有提到這個人的名字。而且證明非常容易，連初中學生都能理解。下面我們來看看他的精巧的證明。
用反證法。假設這n個點不在同一直線上，那麼過其中任意兩點的直線外，均有已知點，它們到這條直線的距離都是正數。因為n是乙個有限的數，所以這種距 離最多只能有有限個。設a、b、c、d是其中的4個點，b、c、d在同一條直線上，而且a到這條直線的距離h是上面我們提到的距離中最小的.
不妨設d在b、c之間，d到ab、ac的距離分別為h1、h2，那麼由h的最小性，有h1ab+h2ac＞h(ab+ac)＞hbc。由於這個不等式兩端均表示△abc的面積，因而矛盾。所以假設不對，這n個點只能在同一直線上。
古希臘三大幾何問題
傳說大約在西元前400年，古希臘的雅典流行疫病，為了消除災難，人們向太陽神阿波羅求助，阿波羅提出要求，說必須將他神殿前的立方體祭壇的體積擴大1 倍，否則疫病會繼續流行。人們百思不得其解，不得不求教於當時最偉大的學者柏拉圖，柏拉圖也感到無能為力。這就是古希臘三大幾何問題之一的倍立方體問題。 用數學語言表達就是：已知乙個立方體，求作乙個立方體，使它的體積是已知立方體的兩倍。另外兩個著名問題是三等分任意角和化圓為方問題。
古希臘三大幾何問題既引人入勝，又十分困難。問題的妙處在於它們從形式上看非常簡單，而實際上卻有著深刻的內涵。它們都要求作圖只能使用圓規和無刻度的直 尺，而且只能有限次地使用直尺和圓規。但直尺和圓規所能作的基本圖形只有：過兩點畫一條直線、作圓、作兩條直線的交點、作兩圓的交點、作一條直線與乙個圓 的交點。某個圖形是可作的就是指從若干點出發，可以通過有限個上述基本圖形復合得到。這一過程中隱含了近代代數學的思想。經過2000多年的艱苦探索，數 學家們終於弄清楚了這3個古典難題是「不可能用尺規完成的作圖題」。認識到有些事情確實是不可能的，這是數學思想的一大飛躍。
然而，一旦改變了作圖的條件，問題則就會變成另外的樣子。比如直尺上如果有了刻度，則倍立方體和三等分任意角就都是可作的了。數學家們在這些問題上又 演繹出很多故事。直到最近，中國數學家和一位有志氣的中學生，先後解決了美國著名幾何學家佩多提出的關於「生鏽圓規」(即半徑固定的圓規)的兩個作圖問 題，為尺規作圖添了精彩的一筆.
百雞問題
本問題記載於中國古代約５－６世紀成書的《張邱建算經》中，是原書卷下第３８題，也是全書的最後一題：「今有雞翁一，值錢伍；雞母一，值錢三；雞鶵三，值 錢一。凡百錢買雞百隻，問雞翁、母、鶵各幾何？答曰：雞翁四，值錢二十；雞母十八，值錢五十四；雞鶵七十八，值錢二十六。又答：雞翁八，值錢四十；雞 母十一，值錢三十三，雞鶵八十一，值錢二十七。又答：雞翁十二，值錢六十；雞母
四、值錢十二；雞鶵八十 四，值錢二十八。」該問題導致三元不定方程組，其重要之處在於開創「一問多答」的先例，這是過去中國古算書中所沒有的。
原書沒有給出解法，只說如果少買７只母雞，就可多買４只公雞和３只小雞。所以只要得出一組答案，就可以推出其餘兩組答案。中國古算書的著名校勘者甄鸞 和李淳風注釋該書時都沒給出解法，只有約６世紀的算學家謝察微記述過一種不甚正確的解法。到了清代，研究百雞術的人漸多，１８１５年駱騰風使用大衍求一術 解決了百雞問題。１８７４年丁取忠創用乙個簡易的算術解法。在此前後時曰醇（約１８７０）推廣了百雞問題，作《百雞術衍》，從此百雞問題和百雞術才廣為人 知。百雞問題還有多種表達形式，如百僧吃百饅，百錢 買百禽等。宋代楊輝算書內有類似問題，中古時近東各國也有相仿問題流傳。例如印度算書和阿拉伯學者艾布 卡公尺勒的著作內都有百錢買百禽的問題，且與《張邱建算經》的題目幾乎全同。
三十六軍官問題
大數學家尤拉曾提出乙個問題：即從不同的6個軍團各選6種不同軍階的6名軍官共36人，排成乙個6行6列的方隊，使得各行各列的6名軍官恰好來自不同的軍 團而且軍階各不相同，應如何排這個方隊？如果用(1，1)表示來自第乙個軍團具有第一種軍階的軍官，用(1，2)表示來自第乙個軍團具有第二種軍階的軍 官，用(6，6)表示來自第六個軍團具有第六種軍階的軍官，則尤拉的問題就是如何將這36個數對排成方陣，使得每行每列的數無論從第乙個數看還是從第二個 數看，都恰好是由1、2、3、4、5、6組成。歷史上稱這個問題為三十六軍官問題。
三十六軍官問題提出後，很長一段時間沒有得到解決，直到20世紀初才被證明這樣的方隊是排不起來的。儘管很容易將三十六軍官問題中的軍團數和軍階數推 廣到一般的n的情況，而相應的滿足條件的方隊被稱為n階尤拉方。尤拉曾猜測：對任何非負整數t，n=4t+2階尤拉方都不存在。t=1時，這就是三十六軍 官問題，而t=2時，n=10，數學家們構造出了10階尤拉方，這說明尤拉猜想不對。但到2023年，數學家們徹底解決了這個問題，證明了 n=4t+2(t≥2)階尤拉方都是存在的。
經典趣味數學問題之過河問題
一 問題描述 在漆黑的夜裡，甲乙丙丁共四位旅行者來到了一座狹窄而且沒有護欄的橋邊。如果不借助手電筒的話，大家是無論如何也不敢過橋去的。不幸的是，四個人一共只帶了乙隻手電筒，而橋窄得只夠讓兩個人同時過。如果各自單獨過橋的話，四人所需要的時間分別是1 2 5 8分鐘 而如果兩人同時過橋，所需要的時間就是...
經典數學問題 Nim遊戲
nim遊戲是博弈論中最經典的模型，是組合遊戲 combinatorial games 的一種，屬於 impartial combinatorial games 以下簡稱icg 滿足以下條件的遊戲是icg 1 有兩名選手 2 兩名選手交替對遊戲進行移動 move 每次一步，選手可以在 一般而言 有限的...
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