最優二叉搜尋樹

問題描述（詳見演算法導論p212-p213)

對於給定關鍵字序列，構造一顆最優的二叉查詢樹t，使得在t內的一次搜尋的期望代價最小

前提概念

最優子結構

設包含有序關鍵字(ki, ..., kj)的最優二叉查詢樹以kr（i≤r≤j）為根節點，則其左子樹(ki, ..., kr-1)和右子樹(kr+1, ..., kj)也同樣為最優二叉查詢樹

遞迴表示式

作如下定義

遞迴表示式如下（推導過程見演算法導論p214-p215）

自底向上的求解

求解過程類似於矩陣鏈乘法問題

構造最優解

根據矩陣root中記錄的值進行構造

1，問題描述：給定乙個有序序列k={k12，問題分析：

在二叉樹中t內搜尋一次的期望代價為：

e[t]=

(depth(ki)+1)*pi //對每個i=1~n，搜尋成功情況

+(depth(di)+1)*qi //對每個i=0~n，搜尋失敗情況

3，問題求解：動態規劃

步驟一：尋找最優子結構。

乙個最優二叉樹的子樹必定包含連續範圍的關鍵字ki~kj，1<=i<=j<=n，同時也必須含有連續的虛葉子節點di-1~dj。

如果一棵最優二叉查詢樹t有一棵含有關鍵字ki~kj的子樹t'，那麼，t'也是一棵最優查詢樹，這通過剪貼思想可以證明。

現在開始構造最優子結構：在ki~kj中，選定乙個r,i<=r<=j，使以kr為根，ki~k(r-1)和k(r+1)~kj為左右孩子的最優二叉樹。注意r=i或者r=j的情況，表示左子樹或右子樹只有虛葉子節點。

步驟二：乙個遞迴解。

定義e[i,j]為一棵包含關鍵字ki~kj的最優二叉樹的期望代價。當j=i-1時沒有真實的關鍵在，只有虛葉子節點d(i-1)。

於是：當j=i-1時，e[i,i-1]=q(i-1)。

當j>=i時，需要選擇合適的kr作為根節點，然後其餘節點ki~k(r-1)和k(r+1)~kj構造左右孩子。這時要考慮左右孩子這些節點成為乙個節點的子樹後，它的搜尋代價的變化：根據e[t]的計算，得知它們的期望代價增加了「子樹中所有概率的總和」w。

w[i,j]=

pl // 對每個l=i~j

+ql //對每個l=i-1~j

於是當j>=i時，e[i,j]=pr + (e[i,r-1]+w[i,r-1])+(e[r+1,j]+w[r+1,j]) = e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j];

步驟三：計算最優二叉樹的期望代價

e[i,j]=

q(i-1) //如果j=i-1

min(e[i,r-1] + e[r+1,j]+w[i,j]),如果i<=j，其中i<=r<=j

w[i,j] =

q(i-1) 如果j=i-1

w[i,j]=w[i,j-1]+pj+** 如果i<=j