程式設計求斐波那契數列

fibonacci sequence

***** recursive algorithm

def

fib(n)
:if n ==
1or n ==2:
return
1else
:return fib(n -1)
+ fib(n -
2)

n)

\omega(\varphi ^n)

ω(φn

),其中φ=1

+5

2\varphi = \frac}

φ=21+5

​​bottom-up algorithm

def

fib2
(n):
if n ==
1or n ==2:
return
1    
f1 =
1    f2 =
1for i in
range(3
, n+1)
:        c = f1 + f2
f1 = f2
f2 = c
return c

)o(n)

o(n)

利用數學技巧 mathematical trick

***** recursive squaringfib

n=φn

5fib_n = \frac}

fibn​=

5​φn

​離他最近的整數就是第n個斐波那契數.

這個演算法的時間複雜度是o(l

ogn)

o(logn)

o(logn

), 因為n次冪運算可以在o(l

ogn)

o(logn)

o(logn

)執行完.

但是這個演算法無法實現,因為浮點數運算的精度問題.

recursive squaring[fi

bn+1

fibn

fibn

fibn

−1]=

[111

0]

n\left[ \begin fib_ & fib_ \\ fib_ & fib_ \end \right]= \left[ \begin 1 & 1 \\ 1 & 0 \end \right]^n

[fibn+

1​fi

bn​​

fibn

​fib

n−1​

​]=[

11​1

0​]n

演算法時間複雜度為o(l

og(n

))

o(log(n))

o(log(

n)).

%time fib(30)

cpu times: user 200 ms, sys: 3.94 ms, total: 204 ms
wall time: 208 ms
%time fib2(30)
cpu times: user 7 µs, sys: 0 ns, total: 7 µs
wall time: 10 µs

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