relaxation
bellan-ford演算法
bellan-ford演算法的改進思路
dijkstra』s algorithm
給定乙個加權有向圖g，找出從乙個給定源點s到其他各點v的最短路徑。
最短路徑由最短子路徑組成。
證明：1）若x在u，v的最短路徑上，則取等號；
2）若不在，則假設大於，那麼兩個小路徑相加得到比u、v原最短路徑更短的路徑，那麼這與（u，v）為最短路徑相駁，故必不取大於號。
綜上，得證。
因為一直走負環則總權重越來越小，可不斷變小，無法確定最小值，故無最短路徑。
時間複雜度：o（ve）
迴圈|v|-1次，每次對每條邊做relaxation。
由拓撲排序找出可能的最短路徑，即找出可能的路徑順序，進行有意義的迭代relax，減少無意義的迭代。
若圖中無負環，則必bellman-ford演算法更好。其實對於有向圖才有意義。
1.初始化所有點的d值即key值為無窮大。
2.當q不為空，每次取出q中d值即key最小的點，對他的鄰接點進行鬆弛操作，更新key值，直至q為空。
演算法的時間複雜度（取決於資料結構）：
a: o(e lg v) using binary heap for q
can acheive o(v lg v + e) with fibonacci heaps
迪傑斯特拉複雜度分析:
1)while + extractmin: vl**
2)while + for +decreasekey: el**
3)總： vl** + el**=o(el**) (因為：v比e小)
correctness: we must show that when u is
removed from q, it has already converged。
證明：定理：所有未找到最短路徑的節點中，鍵值最小的節點的最短路徑值等於鍵值，並且其最短路徑為初始節點到確定其鍵值的節點再到它。
引理：
此為證明不可能在s集合外有一點y存在於u的最短路徑上（du為s外最小值）
最短路 最短路徑問題
題目描述 平面上有n個點 n 100 每個點的座標均在 10000 10000之間。其中的一些點之間有連線。若有連線，則表示可從乙個點到達另乙個點，即兩點間有通路，通路的距離為兩點直線的距離。現在的任務是找出從一點到另一點之間的最短路徑。input 共有n m 3行，其中 第一行為乙個整數n。第2行...
Codeup最短路徑 最短路徑問題
給你n個點，m條無向邊，每條邊都有長度d和花費p，給你起點s終點t，要求輸出起點到終點的最短距離及其花費，如果最短距離有多條路線，則輸出花費最少的。輸入n,m，點的編號是1 n,然後是m行，每行4個數 a,b,d,p，表示a和b之間有一條邊，且其長度為d，花費為p。最後一行是兩個數 s,t 起點s，...
最短路徑之最短路徑問題
提交 狀態 討論版 命題人 外部匯入 題目描述 平面上有n個點 n 100 每個點的座標均在 10000 10000之間。其中的一些點之間有連線。若有連線，則表示可從乙個點到達另乙個點，即兩點間有通路，通路的距離為兩點間的直線距離。現在的 任務是找出從一點到另一點之間的最短路徑。輸入共n m 3行，...