定義
symsum(u(n),n,1,inf) %為無窮級數
s(n)=symsum(u(n),n,1,n) %為無窮級數的部分和數列，如果
limit(s(n),n,inf)=s，則稱級數symsum(u(n),n,1,inf) 收斂，否則發散
若級數symsum(u(n),n,1,inf) 收斂，稱r(n)=s-s(n)為級數symsum(u
(n),n,1,inf) 的餘部，顯然，limit(r(n),n,inf)=0
（1）k為非零常數 k*symsum(u(n),n,1,inf)與symsum(u(n),n,1,inf) 同
斂散。（2）若symsum(u(n),n,1,inf) 、symsum(v(n),n,1,inf) 分別收斂於u、v
，則symsum(u(n)+v(n),n,1,inf) 收斂於u+v
基本定理：正向級數symsum(u(n),n,1,inf) 收斂↔s(n)有界
（1）比較判別法
大的收斂，小的也收斂；小的發散，則大的也發散
（2）比較判別法的極限形式，limit(u(n)/v(n),n,inf)=l (l>=0)
①01 發散
③rho=1 不確定
（4）根植判別法 limit(u(n)^(1/n),n,inf)=rho;
①rho<1 收斂
②rho>1 發散
③rho=1 不確定
若 u(n)>u(n+1),且limit(u(n),n,inf)=0 則級數收斂，但反過來說明不了
u(n)>u(n+1)
（1）絕對收斂與條件收斂f(n,x)limit(f(n,x),n,inf)=f(x)symsum(u(n,x),n,1,inf)
收斂點、發散點、收斂域
s(x)=symsum(u(n,x),n,1,inf)symsum(a(n)*(x-x0)^n,n,1,inf)稱為冪級數，特別低，當x0=0
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)當x=x0收斂則， abs(x)x=x0發散，則abs(x)
>
abs(x0)發散
定理1 limit(abs(a(n+1)/a(n),n,inf)=rho,則 r=1/rho;
定理2 limit(abs(a(n))^(1/n)=rho,則r=1/rho;
2. 分析性質
symsum(a(n)*x^n,n,1,inf)收斂半徑為r，和函式為s(x),則
（1）s(x)在（-r，r）上連續
（1）s(x)在（-r，r）上可導，且逐項可導
（1）s(x)在（-r，r）上可積，且逐項可積
>> syms x;
taylor(1/(1-x))
ans =
x^5 + x^4 + x^3 + x^2 + x + 1
>> taylor(1/(1+x))
ans =
- x^5 + x^4 - x^3 + x^2 - x + 1
>> taylor(exp(x))
ans =
x^5/120 + x^4/24 + x^3/6 + x^2/2 + x + 1
>> taylor(sin(x))
ans =
x^5/120 - x^3/6 + x
>> taylor(cos(x))
ans =
x^4/24 - x^2/2 + 1
>> taylor(log(1+x))
ans =
x^5/5 - x^4/4 + x^3/3 - x^2/2 + x
>> syms alpha;
>> taylor((1+x)^alpha)
ans =
(alpha/5 - (alpha*(alpha/4 - alpha^2/6))/3 + (alpha*(alpha*
(alpha/12 - alpha^2/24) - alpha/6 + alpha^2/12))/2 - alpha*
(alpha/8 - (alpha*(alpha/12 - alpha^2/24))/2 + alpha*(alpha*
(alpha/48 - alpha^2/120) - alpha/18 + alpha^2/48) - alpha^2/18) -
alpha^2/8)*x^5 + ((alpha*(alpha/4 - alpha^2/6))/2 - alpha/4 -
alpha*(alpha*(alpha/12 - alpha^2/24) - alpha/6 + alpha^2/12) +
alpha^2/6)*x^4 + (alpha/3 - alpha*(alpha/4 - alpha^2/6) -
alpha^2/4)*x^3 + (alpha^2/2 - alpha/2)*x^2 + alpha*x + 1
>> int(1*cos(x),x,-pi,pi)
ans = 0
>> int(1*sin(x),x,-pi,pi)
ans = 0
>> int(sin(x)*cos(x),x,-pi,pi)
ans = 0
>> int(sin(x)*cos(2*x),x,-pi,pi)
ans = 0
>> syms n;
>> int(sin(n*x)*cos(n*x),x,-pi,pi)
ans =
0
a(n)=1/pi*int(f(x)*cos(n*x),x,-pi,pi)
b(n)=1/pi*int(f(x)*sin(n*x),x,-pi,pi)
稱 a(0)/2 + symsum(a(n)*cos(n*x)+b(n)*sin(n*x),n,1,inf)為傅利葉級數
>> clear;
>> syms x n;
>> f=x^2;
>> a0=int(f,x,-pi,pi)/pi;
>> an=int(f*cos(n*x),x,-pi,pi)/pi;
>> bn=int(f*sin(n*x),x,-pi,pi)/pi;
>> a0
a0 =
(2*pi^2)/3
>> an
an =
(2*(n^2*pi^2*sin(pi*n) - 2*sin(pi*n) + 2*n*pi*cos(pi*n)))/
(n^3*pi)
>> bn
bn =
0
>> symsum(1/n^2,1,inf)
ans =
pi^2/6
>> symsum(1/n^2,1,n)
ans =
pi^2/6 - psi(1, n + 1)
>> limit(1/n^2,n,inf)
ans = 0
真題鏈結
>> symsum((-1)^n*(2*n+3)/factorial(2*n+1),n,0,inf)
ans =
cosh(1i) + 2*sin(1)
>> cosh(1i)
ans =
0.5403
>> cos(1)
ans =
0.5403
交錯級數如何判斷收斂 高數第七章無窮級數
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