首先了解密碼學的基本目的是使得兩個在不安全的通道中通訊的人，通常稱為alice和bob，以一種使他們的敵手oscar不能明白和理解通訊內容的方式進行通訊。
定義 乙個密碼體制是滿足以下條件的五元組（p,c,k,e,d）：
1.p代表所有可能的明文組成的有限集。
2.c代表所有可能的密文組成的有限集。
3.k代表金鑰空間，由所有可能的秘鑰組成的有限集。
4.對於每乙個k∈k，都存在乙個加密規則ek∈e和相應的解密規則dk∈d。並且對每對ek:p→c，dk:c→p，滿足條件：對每乙個明文x∈p，均有dk(ek(x))=x。
移位密碼（shift cipher）
其基礎是數論中的模運算。這裡給出模運算的定義：
假設a和b均為整數，m是一正整數。若m整除b-a，則可將其表示為a≡b(mod m)。式a≡b(mod m)讀作「a與b模m同餘」，正整數m稱為模數。
我們給出兩個例子，計算101mod7,101=7x14+3，因為0<=3<=6，故101mod7=3。再計算（-101）mod7，因為-101=7x(-15)+4,故（-101）mod7=4。
注：許多計算機程式語言定義a mod m的取值在-m+1到m-1之間，並要求取值和a的正負號相同。在此定義下，（-101）mod7應為-3。但在這裡，為了方便起見，我們要求a mod m恒為一非負值。
現在我們定義模m上的算術運算：令zm表示集合，在其上定義兩個運算加法（+）和乘法（x），其運算類似於普通的實數域上的加法和乘法，所不同的只是所得的值是取模以後的餘數。
在此不加證明的列出這些法則：
1.對加法運算封閉：對任意的a,b∈zm，有a+b∈zm。
2.加法運算滿**換律：對任意的a,b∈zm，有a+b=b+a。
3.加法運算滿足結合律：對任意的a,b,c∈zm，有(a+b)+c=a+(b+c)。
4.0是加法單位元：對於任意的a∈zm，有a+0=0+a=a。
5.任何元素存在加法逆元：a的加法逆元為m-a，因為a+(m-a)=(m-a)+a=0。
6.對乘法運算封閉：對任意的a,b∈zm，有ab∈zm。
7.乘法運算滿**換律：對任意的a,b∈zm，ab=ba。
8.乘法運算滿足結合律：對任意的a,b,c∈zm，有（ab）c=a(bc)。
9.1是乘法單位元：對任意的a∈zm，有a×1=1×a=a。
10.乘法和加法之間存在分配律：對任意的a,b,c∈zm，有（a+b）c=（ac）+（bc）。
密碼體制-移位密碼
令p=c=k=z26，對0<=k<=25，任意的x,y∈zm，定義
ek（x）=（x+k）mod 26
和dk(y)=（y-k）mod26
注：若取k=3，則此密碼體制通常稱作凱撒密碼（caesar cipher），因為他首先被儒勒.凱撒所使用。
使用移位密碼可以用來加密普通的英文句子，但是必須建立英文本母和mod26剩餘之間的意義對應關係：如a<–>0,b<–>1,…,z<–>25。列表如下：
英文本母
對應剩餘值a0
b1c2
d3e4
f5g6
h7i8
j9k10
l11m12
n13o14
p15q16
r17s18
t19u20
v21w22
x23y24
z25下面給出乙個例項：
假設以為密碼的秘鑰為k=11，明文為：wewillmeetatmidnight
首先將明文中字母對應於其相應的整數，得到如下字串：
22、4、22/8、11、11、12、4、4、19、0、19、12、8、3、13、8、6、7、19
然後將每個數都與11相加，再對其取模26運算，可得
7、15、7、19、22、22、23、15、15、4、11、4、23、19、14、24、19、17、18、4
最後轉為相應的字串，即得密文hphtwwppelextoytrse，要解密只需執行相應的逆過程即可。
在已知密文y的情況下，試圖得到秘鑰k的過程，我們稱其為密碼分析。
顯然，移位密碼（mod26）是不安全的，可以通過金鑰窮舉法來破譯，因為金鑰空間小，只有26中可能的情況，所以很容易破解出來。
這也就表明，乙個密碼體制安全的必要條件是能抵抗窮盡金鑰搜尋攻擊，普通的方法是使金鑰空間必須足夠大。但是，很大的金鑰空間並不是保證密碼體制安全的充分條件。
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