在 物理學 和 工程學 中, 帕塞瓦爾定理通常描述如下:
帕塞瓦爾定理的此表達形式解釋了波形x(t)依時間域t累積的總能量與該波形的傅利葉變換x(f)在頻域域f累積的總能量相等。
對於離散時間訊號，該理論表示式變換為：
其中，x為x的離散時間傅利葉變換(dtft)，而φ為x的角頻率（度每樣本）。
此外，對於離散傅利葉變換 (dft)，表示式變換為：
其中，x[k]為x[n]的dft變換，變換前後樣本長度皆為n。
下面用matlab做簡單驗證。
a = 1:8;
freq_energy = sum((abs(fft(a)).^2))/length(a);
time_energy = a*a';
訊號的總能量的時域表示式為:
訊號的總能量的頻域表示式為:
對不同的訊號，上面兩個定義中的極限並不一定存在，由此可以區分能量訊號和功率訊號。也就是說，第乙個極限存在，即稱為 能量訊號，若第二個極限存在，則稱為 功率訊號。應該記住的一點是，乙個訊號可以既不是能量訊號，也不是功率訊號，但不可能既是能量訊號，又是功率訊號。
舉例：脈衝訊號，時間上可積，能量譜趨於無窮，頻率上不可積，就是能量訊號，不是功率訊號。
乙個正弦（週期）訊號進行時間上無限地週期延拓，在時域能量無限，無法積分，但是頻域上可積分，就是功率訊號。
能量訊號的平均功率 p 就是：
功率訊號的平均功率 p：
如果訊號是 功率訊號，情況就稍微複雜一些了。這裡先選取乙個 週期功率訊號，這個是十分容易的，乙個有限長時間的訊號進行週期延拓就可以得到了。週期訊號在時間上無始無終，能量必然是無限的，但功率可能是有限的。對訊號進行傅利葉展開，可以寫成：
或表示為復指數形式：
週期訊號的平均功率只需要取乙個週期進行能量平均即可得到，也即：
或：
利用二項式展開以及三角函式系的正交性，不難化簡上式：
或
an 是週期訊號中頻率為 nω₀ 的諧波分量的幅值，pn = an²/2 是頻率為 nω₀ 的諧波分量的功率。所以結論就是：週期訊號的平均功率等於各諧波分量幅值的平方和。容易理解，週期訊號的功率是離散地分布在頻率為基頻 ω₀ 整數倍的諧波分量上的。
如果以頻率為橫座標，功率 pn 為縱座標，就可以得到功率隨頻率的分布。容易觀察到，週期訊號的功率譜頻率分布是離散的，等間隔的，間隔長度就是基頻 ω₀ = 2π/t₀ ，如果將 pn 在區間 [nω₀, (n+1)ω₀] 平均化為 pn/ω₀ ，就可以得到一條頻率連續的分布曲線 g(ω) ，其意義就是頻率 ω 上的功率密度，也就是所謂的 功率譜密度，量綱是 [u]²/hz。功率譜密度曲線的對頻率積分就等於平均功率 p，即：
實際上，如果引入衝擊函式 δ(·)，功率對頻率微分也可得到週期訊號的功率譜密度，功率譜密度在基頻整數倍為脈衝形式，即 g(ω) = σpnδ(ω-nω₀)，同樣滿足功率譜密度的積分就等於平均功率 p。
以三角函式對功率展開, 幅值 an 為實數，n 僅取正值，功率譜密度 g(ω) 為單邊功率譜，如果以複指函式形式對功率展開，係數 cn 為複數，而 n 取全體整數，功率譜密度 s(ω) 為雙邊功率譜，二者關係為：an = 2|cn| = 2|c₋n|，g(ω) = 2s(ω)。
下面考慮 非週期功率訊號，這類訊號也非常常見，如平穩隨機過程。
非週期訊號可以用週期訊號的思路來推廣，相當於週期訊號中的週期 t₀ → ∞ 。
週期趨近於無窮意味著基頻（離散諧波的頻率分布間隔） ω₀ → 0 ，離散的諧波功率譜線趨於連續。同時，傅利葉係數 an 也趨於 0，也就是說，在諧波功率譜線的圖形中，所有頻率的譜值 pn 都是無窮小，注意到，功率譜的頻率密度 g(ω) = pn/ω₀ 卻為有限值，可以用於描述功率的頻率分布。
通過對訊號的截斷也容易理解非週期訊號的功率譜密度。功率訊號 x(t) 無法直接進行傅利葉變換，但通過對訊號截斷，則截斷後的 [-t, t] 上有限時長的訊號 x₀(t)則為能量訊號，可進行傅利葉變換，得到截斷訊號 x₀(t) 能量的頻率表示 |x₀(ω)|²。隨著截斷時間 2t 趨於無窮，截斷訊號 x₀(t) 逼近功率訊號 x(t)，能量譜密度 |x₀(ω)|² 趨於無窮，而其時間平均則為有限值，也即功率譜密度 g(ω) = lim(1/2t)|x₀(ω)|² 。
以下是用來理解相關函式的3個案例：
分別理解了自功率譜密度和自相關函式之後，開始看二者互為傅利葉變換對的原因。
頻譜 頻譜密度 功率譜密度 能量譜密度
對於確知訊號而言，按照能量是否有限，可以分為能量訊號和功率訊號，能量訊號是指能量有限 功率趨近於0的訊號，比如單個矩形脈衝。功率訊號是指功率有限 能量趨於無窮的訊號，比如週期訊號 直流訊號 隨機訊號等。對於週期性的功率訊號s t 週期為t0t t0 其頻譜函式的定義為 其中，f0 1 t0 f 0 ...
自相關 能量密度譜，互相關 互能量密度譜，系統識別
所以兩個訊號的互相關序列的傅利葉變換就是互能量密度譜。那麼顯然的，x 的自相關序列 就是把 互相關公式的 y 換成 x，之後再進行傅利葉變換，得到的就是 x 的能量密度譜。類似地，也可以計算 y 的自相關序列 和 能量密度譜 能量密度譜和互能量密度譜都是頻率 w 的函式，它體現了乙個訊號在各個頻率中...
維納 辛欽定理 訊號自相關函式和自功率譜密度
訊號x t 的自相關函式是 rx t 1 0gx w co s wt dw 訊號x t 的自功率譜密度是 gx w 2 0 rx t cos wt dt由於訊號的自相關函式計算量大，所以訊號的自相關函式通常不直接計算，而是用訊號的自功率譜密度的逆fft變換來計算。注 在旋轉機械的故障診斷中，週期訊號...