陣列的波谷

###找陣列的波谷

####原題

乙個陣列a[1…n]，滿足a[1]>=a[2], a[n] >= a[n-1]。a[i]被成為波谷，意味著：a[i-1] >= a[i] <= a[i+1]。請給出乙個演算法，找到陣列中的乙個波谷。o(n)的方法，是很直接，有更快的方法麼？

####分析

這個題目遍歷一遍陣列，顯然就可以找到全部的波谷。時間複雜度o(n)，空間複雜度是o(1)。但是如果我們只需要找到乙個波谷，是否有更快的方法呢？更快的方法o(1)是不可能的，那只有o(logn)，自然就想到二分查詢。這個題目如果進行二分呢？我們看下面的陣列a：01

2345

6977

2137

left

midright

a[0]>a[1]，a[6]>a[5]，滿足題目中要求陣列的條件。滿足這樣的條件，陣列中一定是存在波谷的。假設不存在波谷，則a[0]

上表中的mid=3，a[mid]=2。a[mid-1]012

3456

9772

137left

midright

此時，mid滿足波谷的條件，找到波谷。

總結上面的思路，找到陣列的mid元素，mid有幾種情況：

####進一步分析

如果這個題目中，沒有a[1]>=a[2]以及a[n]>=a[n-1]的約束，還能夠以o(logn)的時間複雜度完成麼？關鍵點就在於，中間的元素與其相鄰的元素進行大小比較的時候，還能否選擇一邊繼續進行查詢。當a[mid-1]<=a[mid]時，可能是a[1]t(n)=2t(n/2)+1

根據主定理，解得，時間複雜度為o(n).此時，是不存在o(logn)的。