B樹 B 樹 B 樹 B 樹介紹

b-樹就是b樹（可能有部分人會習慣上把b-樹讀為b減樹，其實並不存在b減樹，只是讀法上的不同而已），b就是balanced，平衡的意思。b-樹就是指的b樹，特此說明一下。

先介紹一下二叉搜尋樹。

顧名思義，二叉搜尋樹，即指最多擁有兩個叉，這裡的叉即為所有非葉子結點的兒子（lift和right）；

所有的結點儲存乙個關鍵字；

非葉子結點的左指標指向小於其關鍵字的結點，右指標指向對於其關鍵字的結點，結構如下圖：

二叉搜尋樹的搜尋，從根結點開始，如果查詢的關鍵字與結點關鍵字相等，則該結點為查詢的結點，如果查詢關鍵字比結點關鍵字小，則進入左子樹，反之則進入右子樹；如果左子樹為空或者右子樹為空，則返回查詢不到響應的關鍵字；

如果二叉搜尋樹的所有葉子結點的左右子樹的樹木保持乙個平衡即左右子樹個數大致相等的話，其搜尋則更接近與二分查詢；但是它相比連續記憶體空的二分查詢的優點是：改變二叉搜尋樹的結構（新增或者刪除）不需要大段的移動資料，甚至通常都是常數開銷；

如下圖：

紅色字型代表插入資料，搜尋二叉樹在插入結點時，只要根據插入資料的大小查詢出他應該插入的位置即可，然而當在乙個有序陣列插入乙個資料的時候，需要查詢出他的位置，然後將其新增，後面的資料索引加一，這樣的乙個完整操作，相比下來二叉樹的優點很明顯了。

但是，當乙個二叉樹經歷多次刪除操作後，他就可能變換結構，如下圖：

右邊也是乙個搜尋二叉樹，只不過不在平衡了，他的搜尋功能也變成了線性的，同樣的關鍵字可能導致不同的樹結構索引，所以，在使用搜尋二叉樹時，還要烤爐盡可能讓b樹保持左圖的結構，避免和右圖類似，這也有事所謂的平衡問題了。

實際使用的二叉搜尋樹都是在原二叉搜尋樹的基礎上加上平衡演算法，即平衡二叉樹；如何保持b樹節點分布均勻的平衡演算法就是平衡二叉樹的關鍵所在，平衡演算法是一種在二叉搜尋樹的插入和刪除結點時的一種策略。即：在插入或刪除的同時保持二叉搜尋樹的平衡。

b樹（b-樹），是一種多路搜尋樹（並非二叉的）：

定義任意非葉子節點最多可以有m個兒子節點；且m>2；

則根節點的兒子數為：[2，m]；

除根節點為的非葉子節點的兒子書為[m/2，m]；

每個結點存放至少m/2 - 1 （去上整）且至多m -1 個關鍵字；（至少為2）；

非葉子結點的關鍵字個數 = 指向子節點的指標書 -1；

非葉子節點的關鍵字：k[1],k[2],k[3],…,k[m-1;且k[i] < k[i +1];

非葉子結點的指標：p[1], p[2], …, p[m]；其中p[1]指向關鍵字小於k[1]的子樹，p[m]指向關鍵字大於k[m-1]的子樹，其它p[i]指向關鍵字屬於(k[i-1], k[i])的子樹；

所有葉子結點位於同一層；

如(m = 3)

b-樹的搜尋，從根結點開始，對結點內的關鍵字（有序）序列進行二分查詢，如果

命中則結束，否則進入查詢關鍵字所屬範圍的兒子結點；重複，直到所對應的兒子指標為

空，或已經是葉子結點；

b-樹的特性：

關鍵字集合分布在整顆樹中；

任何乙個關鍵字出現且只出現在乙個結點中；

搜尋有可能在非葉子結點結束；

其搜尋效能等價於在關鍵字全集內做一次二分查詢；

自動層次控制；

b+樹是b-樹的變體，也是一種多路搜尋樹：

1.其定義基本與b-樹同，除了：

2.非葉子結點的子樹指標與關鍵字個數相同；

3.非葉子結點的子樹指標p[i]，指向關鍵字值屬於[k[i], k[i+1])的子樹（b-樹是開區間）；

5.為所有葉子結點增加乙個鏈指標；

6.所有關鍵字都在葉子結點出現；

如：（m=3）

b+的搜尋與b-樹也基本相同，區別是b+樹只有達到葉子結點才命中（b-樹可以在

非葉子結點命中），其效能也等價於在關鍵字全集做一次二分查詢；

b+樹的特性：

1.所有關鍵字都出現在葉子結點的鍊錶中（稠密索引），且鍊錶中的關鍵字恰好是有序的；

2.不可能在非葉子結點命中；

3.非葉子結點相當於是葉子結點的索引（稀疏索引），葉子結點相當於是儲存（關鍵字）資料的資料層；

b樹是b+樹一種變形，它是在b+樹的基礎上，將索引層以指標連線起來，使搜尋取值更加快捷。

如下圖（m = 3）

但是b樹又在b+樹的基礎上產生了一系列的變化，如下：

b*樹定義了非葉子結點關鍵字個數至少為(2/3)*m，即塊的最低使用率為2/3代替b+樹的1/2）；

b+樹的**：當乙個結點滿時，分配乙個新的結點，並將原結點中1/2的資料複製到新結點，最後在父結點中增加新結點的指標；b+樹的**只影響原結點和父結點，而不會影響兄弟結點，所以它不需要指向兄弟的指標；

*樹的**：當乙個結點滿時，如果它的下乙個兄弟結點未滿，那麼將一部分資料移到兄弟結點中，再在原結點插入關鍵字，最後修改父結點中兄弟結點的關鍵字（因為兄弟結點的關鍵字範圍改變了）；如果兄弟也滿了，則在原結點與兄弟結點之間增加新結點，並各複製1/3的資料到新結點，最後在父結點增加新結點的指標；

所以b*樹相對於b+樹，空間利用率上有所提高，查詢速率也有所提高。

總結：

二叉搜尋樹：二叉樹，每個結點只儲存乙個關鍵字且值大於左子樹，小於右子樹。

b（b-）樹：多路搜尋樹，每個結點儲存m/2到m個關鍵字，非葉子結點儲存指向關鍵字範圍的子結點；所有關鍵字在整顆樹

**現，且只出現一次，非葉子結點可以命中；

b+樹：在b-樹基礎上，為葉子結點增加鍊錶指標，所有關鍵字都在葉子結點

**現，非葉子結點作為葉子結點的索引；b+樹總是到葉子結點才命中；

b*樹：在b+樹基礎上，為非葉子結點也增加鍊錶指標，將結點的最低利用率

從1/2提高到2/3；

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