首先來區分一下全序關係和偏序關係;
全序關係:
設集合x上有一全序關係,如果我們把這種關係用 ≤ 表述,則下列陳述對於 x 中的所有 a, b 和 c 成立:
如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)
如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)
a ≤ b 或 b ≤ a (完全性) 完全性包括自反性
偏序關係:
設r是集合a上的乙個二元關係,若r滿足:
ⅰ 自反性:對任意x∈a,有xrx;
ⅱ 反對稱性(即反對稱關係):對任意x,y∈a,若xry,且yrx,則x=y;
ⅲ 傳遞性:對任意x, y,z∈a,若xry,且yrz,則xrz。
則稱r為a上的偏序關係。
二者區別主要在紅字上,偏序只需在這個集合範圍類滿足自反性、反對稱性、傳遞性;而全序關係則不然,需要在整個集合範圍內滿足這三個性質。
下面說明最小(大)元和極小(大)元
最大元:假設a為最大元,則在集合a中,任取元素x,都有xra。
極大元:假設a為極大元,則任取與a具有關係r的元素x,都有xra。(也就是說:並不是a中的任意元素都與a有關係r,這就是最大元與極大元的區別)
最小元:假設a為最小元,則在集合a中,任取元素x,都有arx。
極小元:假設a為極小元,則任取與a具有關係r的元素x,都有arx。
注意:最大元,最小元是唯一的,極大元與極小元不唯一。
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