最小元和極小元

2021-09-25 06:53:45 字數 888 閱讀 3773

首先來區分一下全序關係和偏序關係;

全序關係:

設集合x上有一全序關係,如果我們把這種關係用 ≤ 表述,則下列陳述對於 x 中的所有 a, b 和 c 成立:

如果 a ≤ b 且 b ≤ a 則 a = b (反對稱性)

如果 a ≤ b 且 b ≤ c 則 a ≤ c (傳遞性)

a ≤ b 或 b ≤ a (完全性) 完全性包括自反性

偏序關係:

設r是集合a上的乙個二元關係,若r滿足:

ⅰ 自反性:對任意x∈a,有xrx;

ⅱ 反對稱性(即反對稱關係):對任意x,y∈a,若xry,且yrx,則x=y;

ⅲ 傳遞性:對任意x, y,z∈a,若xry,且yrz,則xrz。

則稱r為a上的偏序關係。

二者區別主要在紅字上,偏序只需在這個集合範圍類滿足自反性、反對稱性、傳遞性;而全序關係則不然,需要在整個集合範圍內滿足這三個性質。

下面說明最小(大)元和極小(大)元

最大元:假設a為最大元,則在集合a中,任取元素x,都有xra。

極大元:假設a為極大元,則任取與a具有關係r的元素x,都有xra。(也就是說:並不是a中的任意元素都與a有關係r,這就是最大元與極大元的區別

最小元:假設a為最小元,則在集合a中,任取元素x,都有arx。

極小元:假設a為極小元,則任取與a具有關係r的元素x,都有arx。

注意:最大元,最小元是唯一的,極大元與極小元不唯一。

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