有alice和bob兩個人，隨機給他們兩個數x和y(0或1)，然後a和b根據他們得到數(x和y)給兩個個數a和b(0或1)。
規則如下：
如果輸入的x和y都是1，那麼，alice和bob給出不一樣的數獲勝；否則，alice和bob給出相同的數獲勝。
alice和bob在拿到x和y後就不能交談了，但是在拿到前可以交流。
問：alice和bob怎樣約定獲勝的可能性最大？
一共有以下十六中情況：xy
abresult00
00贏0
001輸
0010
輸001
1贏01
00贏0
101輸
0110
輸011
1贏10
00贏1
001輸
1010
輸101
1贏11
00輸1
101贏
1110
贏111
1輸我們可以看到，如果alice和bob隨機輸出a和b，即輸出的a和b與輸入的x和y無關，那麼他們獲勝了可能性是50%，也就是0.5。
如果有提前約定呢？
當輸入x和y都是0的時候，alice和bob可以約定都出0（約定都出1也是一樣的道理），這樣，輸入是（0，0）的25%可能是一定獲勝。
但是當你的輸入是1的時候，你不知道另乙個人是的輸入是0還是1。
如果約定出0，即，無論輸入是什麼都出0，則，獲勝的可能性是75%，只有輸入是（1，1）時失敗。
如果約定出1，即，輸入什麼輸出什麼，則獲勝的可能性是25%，只有輸入是（0，0）才獲勝。
如果約定乙個出0乙個出1（假設a遇1出1，b遇1出0），則成功率75%，只有在輸入是（1，0）時失敗。
綜上，在經典解法中，成功的概率最大是0.75。
首先我們給alice和bob一對bell態的量子位元（\(|\psi\rangle=\frac|00\rangle + \frac|11\rangle=\frac|++\rangle + \frac|--\rangle\)）
然後他們分別根據自己的輸入對自己量子位元測量，測量結果就是他們的輸出。
測量方式如下：
如果alice的輸入是0，那麼就在\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，如果輸入是1，就在\(| u\rangle\)、\(| u'\rangle\)基測量。
如果bob的輸入是0，那麼就在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，如果輸入是1，就在\(| w\rangle\)、\(| w'\rangle\)基測量。
這樣的獲勝的可能性是多少呢？
如果輸入是（0，0）：因為alice的輸入是0，所以alice用\(| 0\rangle\)、\(| 1\rangle\)基測量，測量在不在\(| 0\rangle\)，在的話輸出1，不在輸出0，並且可以知道他在\(| 1\rangle\)。此時，因為alice和bob的量子是糾纏的，bob的量子位元也會坍縮到\(| 0\rangle\)或者\(| 1\rangle\)的位置。bob的輸入也是0，所以bob要在\(| v\rangle\)、\(| v'\rangle\)基測量，看量子在不在\(| v\rangle\)。如果alice的量子最終坍縮到了\(| 0\rangle\)，在\(| v\rangle\)測量得到1的概率為\(cos^2\frac\)，因為\(| 0\rangle\)和\(| v\rangle\)之間的夾角是\(\frac\)，則有\(cos^2\frac\)的概率成功，如果alice的量子坍縮到了\(| 1\rangle\)，則alice的輸出為0，在在\(| v\rangle\)測量得到1的概率為\(cos^2\frac\)，但是這個時候輸出0才會獲勝，所以成功的概率依舊是\(cos^2\frac\)。
量子解法的最大成功率 \(>\) 經典解法的最大成功率
\[0.85 > 0.75\]
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