C語言程式實踐第一周報告 doc版

c語言程式實踐第一周報告

矩陣乘方

一種樸素的思想

對於普通型別的求a^n，我們的求法是a*a*a*a....，這樣乘以n次，時間複雜度為o(n)，對於普通n比較小的我們可以接受，然而當n比較大的時候，計算就慢了，所以我們就去尋找更快捷的計算方法，學過快速冪的同學應該不難想到矩陣的快速冪

例如：我們要求2^8，我們通過當為偶數的時候，a^n=(a*a)^(n/2)，當n為奇數時，a^n=a*(a*a)^(n/2)的形式，是不是可以轉化為4^4->8^2->64^1，就可以了，2^5的話2*4^2->2*16^1。(把冪化為底數，減少乘法的次數）

其實類似這樣的思想不少見，我們不應該感到陌生：

例如著名的秦九昭演算法（扯遠了，但還是要說一下）

背景：

你怎麼算呢？暴力乘，好我們來分析一下時間複雜性的問題，你需要加法運算n次，乘法運算1+2+....+n=n*(n+1)/2次，但我們有乙個很簡單的優化：秦九昭演算法

我們只需要n次乘法運算，n次加法運算就可實現多項式求值時間複雜度為o(n)

其實本質是什麼呢？

本質是利用已有的資料，就比如說我已經有了x，我去算x^2就不用兩次運算，直接在原有的基礎上再乘乙個x，其實很多別的演算法也是基於這個大思想，例如記憶化搜尋，字首和，差分，線段樹懶標記

說回正題，基於這樣的思想

矩陣快速冪板子應運而生

mat pow(mat x,int y)

}while(y) //矩陣快速冪模板

x = mul(x,x);

y>>=1;

}return ans;

}唯一要注意的就是奇數和偶數的差別：奇數多乘一次，偶數則不用

之前程式沒過的原因：

第一次:沒看題目要求n,b,m按順序輸入

第二次：快速冪最後返回的是ans矩陣而不是x矩陣