文章是從網上覆制過來的，原文有很多錯別字和錯誤的地方，我在這裡已經更正了，可直接閱覽。另外我還在文中新增了一些注釋，以便初學者能更好更快的理解。
本文主要講述rsa演算法使用的基本數學知識、秘鑰的計算過程以及加密和解密的過程。
rsa公鑰加密演算法是2023年由羅納德·李維斯特（ron rivest）、阿迪·薩莫爾（adi shamir）和倫納德·阿德曼（leonard adleman）一起提出的。2023年首次公布，當時他們三人都在麻省理工學院工作。rsa演算法以他們三人姓氏開頭字母命名。
rsa是目前最有影響力的公鑰加密演算法，到2023年為止，世界上還沒有任何可靠的攻擊rsa演算法的方式。只要秘鑰長度足夠長，用rsa加密的資訊實際上是不能被解破的。iso推薦它為公鑰資料加密標準。
rsa演算法基於簡單的數論事實：將兩個大質數相乘十分容易，但是想要對其乘積進行因式分解卻極其困難，因此可以將乘積公開作為加密金鑰。
rsa是"非對稱加密演算法"，非對稱加密演算法需要兩個金鑰：公開金鑰（publickey）和私有金鑰（privatekey）。公鑰與私鑰是配對的，用公鑰加密的資料只有配對的私鑰才能解密，反之亦然。因加解密使用兩個不同的金鑰，所以這種演算法叫作非對稱加密演算法。
非對稱演算法的在應用的過程如下，假設傳送方向接收方傳送訊息（明文）：
1.接收方生成公鑰和私鑰，公鑰公開，私鑰保留；
2.傳送方將要傳送的訊息採用公鑰加密，得到密文，然後將密文傳送給接收方；
3.接收方收到密文後，用自己的私鑰進行解密，獲得明文。
可以看出，非對稱加密解決了對稱加密金鑰傳輸的問題。
rsa加密演算法中，只用到素數、互質數、尤拉函式、模運算等簡單的數學知識。
1.素數
素數又稱質數，指在乙個大於1的自然數中，除了1和此整數自身外，不能被其他自然數整除的數。
2.互質數
公因數只有1的兩個數，叫做互質數；又稱互素，若n個整數的最大公因子是1，則稱這n個整數互質。
判斷互質的簡單法則：
a.任意兩個質數是互質的；
b.乙個數是質數，另乙個數不是它的倍數，兩者互質（比如正整數p是質數，則小於p的正整數和p都是互質的）；
c.兩個不相等的數，較大的那個數是質數，兩者互質；
d.1和任意自然數互質；
e.2和任何奇數是互質；
f.如果p是大於1的整數，則p和p-1互質；
g.如果p是大於1的奇數，則p和p-2互質。
尤拉函式的推導：
任意給定正整數n，求在小於等於n的正整數中，有多少個與n互質的正整數？
推導步驟如下：
a.當n=1時，φ(1)=1（2.1中的d）；
b.n為質數時，φ(n)=n-1（2.1中的b）；
c.如果n是某一質數的m次方，即n=pm（p為質數，m為整數且大於等於1），則
φ(pm)=pm-pm-1=pm(1-1/p)
這個式子是如何得到的呢？
當m=1時，同情況b。
根據2.1的b，p是質數，則從1到pm的整數中，除去pk(m≥k≥1)，餘下的都與pm互質，也就是說，一共n(其中n=pm)個數，其中有pm-1(即p,p2,…pm)個整數與n不是互質關係，則與n互質的整數個數為pm-pm-1。
d.當n=p1*p2，且p1、p2互質時，有
φ(n)= φ(p1p2)=φ(p1) φ(p2)
即積的歐如果a與p1互質(ae.對於任意乙個大於1的正整數，都可以寫成
n=p1k1p2k2…prkr，其中，p1,p2,…,pk為質數。
由d可知
φ(n)= φ(p1k1)φ(p2k2)…φ(prkr)，
再由c可知
φ(n)= p1k1p2k2…prkr(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)
即φ(n)=n(1-1/p1)(1-1/p2)…(1-1/pr)
這就是尤拉函式的通用計算公式。
尤拉定理：
如果兩個正整數a和n互質，則n的尤拉函式φ(n)可使下面等式成立
aφ(n)≡1(mod n)
上式表示，a的φ(n)次方被n除的餘數為1，或者敘述為，a的φ(n)次方減去1後可以被n整除。注意，φ(n)是n的尤拉函式。
尤拉定理的特殊情況：如果正整數a與質數p互質，因為質數p的φ(p)等於p-1，則尤拉定理可以寫成就是我們所說的費馬小定理
ap-1≡1(mod p)
注：①mod函式是求模取餘函式；
②「≡」是「恆等於」的意思。
模反元素：
如果兩個正整數a和n互質，那麼一定可以找到整數b，使得ab-1被n整除，或者說ab被n除的餘數是1。這時b被稱為a的模反元素。公式如下：
ab≡1(mod n)
注意，模反元素並不唯一，如果b是a的模反元素，則b+kn都是a的模反元素。
尤拉定理可以用來證明模反元素的必然存在：
aφ(n)= a×aφ(n)-1≡1(mod n)
用來計算秘鑰的d和e，這裡不詳細介紹，可參考擴充套件歐幾里得演算法。
金鑰生成的步驟如下：
1.隨機選擇兩個不相等的質數p和q；
2.計算p和q的乘積n（將n轉換為二進位制後，二進位制的長度就是金鑰的長度，實際應用中一般選擇1024位、2048位）；
3.計算n的尤拉函式φ(n)；
4.隨機選擇乙個整數e，其中φ(n)>e>1，且e與φ(n)互質（實際應用中e一般選為65537）；
5.計算e對於φ(n)的模反元素d；
6.將n和e封裝成公鑰，n和d封裝成私鑰。
舉例：1.隨機選擇兩個不相等的質數47和59；
2.二者的乘積為43×57=2773，2773轉化為二進位制為1010,1101,0101，長度為12位，所以金鑰的長度為12位；
3.根據尤拉函式公式φ(n)=n(1-1/p)(1-1/q)計算，φ(2773)= 2773×(1-1/47)(1-1/59)=(47-1)(59-1)=2668；
4.隨機選擇乙個整數e=63，2668>63>1，並且63與2668互質；
5.計算63對於2668的模反元素d，根據公式ed≡1(mod φ(n))，有63d-1=2668k，由歐幾里得擴充套件公式計算得d=847。
6.公鑰(n,e)=(2773,63)，私鑰(n,d)=(2773,847)。
1.加密
假設傳送方向接收方傳送資訊m，m未加密，我們稱之為明文。傳送方從接收方獲得的公鑰為(n,e)，加密公式為
me=c(mod n)
其中，m必須是整數，而且m必須比n小。
m,e,n已知，從上面的公式中計算出c，c就是加密後的資訊，我們稱之為密文。傳送方將密文傳送給接收方。
2.解密
接收方從傳送方接收到密文c，用自己的配對私鑰(n,d)進行解密，解密公式為
cd=m(mod n)
已知c,n,d，從上面公式中計算出m，就是傳送方發過來的明文。
舉例：1.加密
根據上面計算出的公鑰(n,e)=(2773,63)，假如m=244，根據公式me=c(mod n)，可計算出密文c=465。
2.解密
根據上面計算出的私鑰(n,d)=(2773,847)，已知c=465，根據公式cd=m(mod n)，可計算出明文m=244。
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