相信大家小時候都有過這樣乙個經驗，被別人問1+1為什麼等於2？
可能都把這個看作一種調侃；曾經別人也問過我這樣乙個問題，我當時避重就輕的回答說因為2-1=1，所以1+1=2；事後我思考過這個問題，發現實際上我的證明是有問題，因為2-1=1和1+1=2可以看做是同乙個命題的2種不同陳述方法，所以實際上我相當於什麼都沒說
當我稍微認真一點思考這個問題的時候，我發現很難給出乙個明確的證明，於是也只好把這個歸於乙個常識，直到某一天，我才知道原來這個問題真的有嚴格的證明方法，也真的有答案，下面我就來給出1+1=2的乙個嚴格證明，故事要從皮亞諾公理體系說起，該體系給出了 自然數的定義方法，
先聊一點歷史，隨著微積分公理基礎的嚴格性被質疑，19世紀的數學家開始著手分析的嚴格化建立；柯西對無窮小給出精確定義，康托的集合論的建立， 都為分析的嚴格化邁出了重要的一步，實際上從歐幾里得的幾何原本開始，就為數學的體系建立提供了演繹的建立方法，也就是先給出幾個不需要證明的公理，再根據這些公理進行邏輯推理，推理的結論就上公升為定理；歐幾里得根據五大公設給出了幾何原本中所有命題的證明，這一點可以認為是這種演繹邏輯體系的巔峰；也是幾何原本最重點的意義和價值之一。
在這樣的背景下，皮亞諾為了對自然數給出嚴格定義，也給出了幾條公理，並據此推理出了整個自然數，後世為了紀念，就把這幾條公理並成為皮亞諾公理體系，下面我們來看看皮亞諾的公理是什麼樣的，注意這裡給出的後世簡化後的版本；
皮亞諾公理體系：給定乙個集合n,n中的元素被稱為數，如果n滿足以下條件，那麼n就是自然數集
1，存在乙個數0屬於n
2，每乙個屬於n的數a，都存在唯一的確定的後繼數a』屬於n
3，0不是屬於n的任何數的後繼數；
4, n中不同的數有不同的後繼數
5，如果n有乙個子集s，滿足0屬於s，且任意a屬於s,a的後繼數也屬於s，那麼s=n（歸納公理）
皮亞諾的公理體系比較抽象，下面我們分析一下，這個抽象的表象下想要表達的內涵是什麼，
***通過把皮亞諾公理體系和圖論結合起來的方式來研究，這樣我們可以畫出滿足皮亞諾公理體系的集合對應的圖(diagram),再根據這個圖大家就可以清楚看出其內涵：
首先我們寫出乙個數字0， 它屬於n;根據公理2,它有唯一後繼數屬於n，我們設為它為a(1)
（注意，因為我們要定義自然數，在定義自然數之前原則上我們是不能使用自然數的概念的，所以這裡的1，以及後面出現的2,3等數字只是單純的看做一種符號，而我們不能使用有關它們的一切運算性質）
我們用形如x->y的符號表示y是x的後繼數，則
0->a(1) ,根據公理2,a(1)也有後繼數，我們用符號a(2)表示它，以此類推，於是我們得到乙個序列
0->a(1)->a(2)->…
但是我們注意，這個序列有2種可能，一種是無限延伸，第二種是，到某一時刻，構成環形迴路；
比如： 0->a(1)->a(2)->a(3)->a(4)->a(1) （重新指向a1）
不過皮亞諾的公理4在一定程度上保證了環形迴路不可能發生，拿我們的例子來說，0和a4的後繼數都是a(1),但是0!=a(4)， 根據公理4，0和a(4)的後繼數,不同，矛盾；
下面我們給出嚴格的證明，假設序列0->a(1)->a(2)->a(3)->…按照公理1,2定義的方法生成，並保持不重複直到a(t)->b,使得b與0->a(1)->a(2)->a(3)->…->a(t)中的乙個重複；我們據此推出乙個矛盾的結果，就可以證明無論如何不會出現環形結構；
那麼我們把序列0->a(1)->a(2)->a(3)->…->a(t)記為序列s ，同時我們也用s表示這些數所組成的集合，(並且s可以看是乙個有向圖) 另外，在構建過程中，每當進行一次形如x->y的步驟，我們就把這個唯一的x稱為y的生成子，記作pre(y),則pre(y)滿足pre(y)->y，但是沒有pre(0)；下面我們先證明s滿足以下性質：
(1)s中任何數b,b』 ， 如果滿足b->b』 ， 則任何y屬於s且y!=b』, b->y不成立
證明：如果y!=b』 b->y,b->b』 意味著同一數有2個不同後繼數，與公理2矛盾；
(2) s中除了0之外，每乙個數y都有唯一的x屬於s,滿足x->y;
證明：存在性：從數列的構建方法來看，除了0之外的任意數y，pre(y)->y;
唯一性：假設有x->y ,x』->y ,x!=x』 顯然與公理4 矛盾；
並且為了方便，我們把任意不為0的屬於s的數y對應的滿足x->y的唯一的x記為』y，讀作』y是y的字首數，則有』y=pre(y);
(3) s中除了0之外的任意兩個不同的數x,y滿足』x!='y
證明：根據公理2 'x='y, 'x->x ,'y->y => x=y ,與x!=y矛盾；
(4) 集合s中除了0之外的所有數的生成子所組成的集合pre(s)不包含a(t)且pre(s)是s的子集;（我們需要構建證明的最重要命題，之所有附加上pre(s)是s的子集條件是為了方便歸納證明）
證明：用數學歸納法證明，當序列s中只有0和a(1)時 pre(s)==; 不包含a(1);且是的子集;
我們假設該命題直到 序列進行構建到某一步驟時一直保持成立；此時得到的子串行k為0->a(1)-a(2)->…->a(alpha); 滿足a(alpha)不屬於pre(k)且pre(k)是k的子集;
下面我們再往下推理一步驟;得到序列k』=0->a(1)->a(2)->…a(alpha)->a(beta)；對於此序列
pre(k』)=pre(k) u =pre(k)u
由序列k』中所有數字的不重複性的可以推出 a(beta)不屬於 k; 而和pre(k)都是k的子集，所以它們並也是k的子集，也就是a(beta)不屬於pre(k』)
由此，我們就歸納的證明了對於按照公理1,2構建的數列s,s滿足pre(s)不包含a(t);
下面對b的情況分2種情形討論：
1，b=0 ,則a(t)->b => a(t)->0 ,與公理3矛盾；
2, b!=0, 根據上面的分析pre(b)存在，且pre(b)屬於pre(s),pre(s)不包含a(t)，所以pre(b)!=a(t);
這樣我們有: pre(b)!=a(t), pre(b)->b ,a(t)->b 而這與公理4矛盾；
也就是說我們的假設是錯誤的，按照公理1,2的方法的生成序列在皮亞諾公理假設下是不可能發生環形結構的；
至此我們根據公理，得到了乙個無窮序列，且序列無環（等價的說法是序列中沒有重複元素出現）
0->a(1)->a(2)->…
記這個序列的集合為s,由序列的構建方法知道s滿足公理5，則s=n；
也就是說我們用上述diagram方法構建的無窮序列s就是滿足皮亞諾公理體系的n;
另外我們推出的s的性質也就是n的性質；
也就是n中所有元素可以用diagram的形式排成一條無窮序列，並且這種排列方法唯一(從公理2)
得到；把序列0->a(1)->a(2)->…看做乙個有向圖，我們已經得到了皮亞諾體系的圖表示；
皮亞諾公理體系的集合中的元素看做有向圖的節點，x->y的關係對應於一條有向邊；則把這個圖成為集合對應的皮亞諾圖；
則集合n滿足皮亞諾公理體系條件等價於 其皮亞諾圖是一條無窮有向無環鏈（沒有任何分叉，也沒有交匯點，唯一，每個節點只有唯一的節點指向它，0除外）；
這就是皮亞諾公理體系的內涵了；這樣省去複雜的推理，我們可以用圖的方式清楚的定義自然數了，
我們作出圖 0->a->b->c…
這樣我們可以定義1為0的唯一後繼數, 也就是圖中的a, 2為1的唯一後繼數，以此類推，
我們就得到了乙個轉義後的圖:
0->1->2->3->4->5->… 至此，終於把抽象的皮亞諾公理構建的抽象自然數，與我們熟悉的自然數掛上了勾