遞迴函式（一）：開篇
遞迴函式（二）：編寫遞迴函式的思路和技巧
遞迴函式（三）：歸納原理
遞迴函式（四）：全函式與計算的可終止性
遞迴函式（五）：遞迴集與遞迴可列舉集
遞迴函式（六）：最多有多少個程式
遞迴函式（七）：不動點運算元
遞迴函式（八）：偏序結構
遞迴函式（九）：最小不動點定理
我們聽說過，現代計算機在計算能力上是與圖靈機等價的，
什麼叫做計算能力呢？
它指的是圖靈機可計算的函式集，與現代計算機可計算的函式集是相等的。
為了簡單起見，我們不去討論圖靈機，而是從現代計算機直接說起，
設\(mathscr\)是一段程式，\(n\)是乙個正整數，
我們稱數論函式\(psi (x_1,x_2,cdots ,x_n)\)為程式\(mathscr\)所計算的\(n\)元部分函式，
如果對於相同的輸入，
要麼：（1）程式\(mathscr\)的計算可以終止，此時計算結果等於\(psi (x_1,x_2,cdots ,x_n)\)的相應函式值；
要麼：（2）程式\(mathscr\)的計算不能終止，此時\(psi (x_1,x_2,cdots ,x_n)\)無定義。
設\(f(x_1,x_2,cdots ,x_n)\)是乙個部分函式，如果存在程式\(mathscr\)可計算\(f\)，則稱\(f\)是部分可計算的。
如果乙個函式，既是部分可計算的，又是全函式，則稱這個函式是可計算的。
可以證明，所有的原始遞迴函式和遞迴函式都是部分可計算的。
我們使用現代計算機進行程式設計的時候，並不是直接把程式的輸入傳給程式，
而是將程式本身以及它的輸入，傳給計算機，最後由計算機得到計算結果，
像這種接受任何程式和它的輸入作為自己的輸入，返回程式執行結果的程式，稱為通用程式。
為此，通用程式需要把輸入的程式進行編碼。
常用的編碼方法，涉及配對函式和哥德爾編碼。
為了不引入太多的複雜性，我們可以將程式的編碼理解為儲存程式的二進位制資料，
不同的程式會有不同的二進位制表示，每乙個二進位制表示可以對應一段程式（雖然可能不合法）。
哥德爾編碼做的事情就是將程式和自然數集一一對應起來。
因此，所有程式的個數是可數的，而這些程式可計算的函式個數也一定是可數的，
它們可能是全函式，也可能是部分函式。
（其中，「可數」指的是可數集，可數集是與自然數集之間存在一一對映的集合。
然而，自然數集上的函式全體並不可數，（證略
所以肯定存在程式不可計算的函式。
程式\(mathscr\)所計算的函式，我們可以記為\(psi (x_1,x_2,cdots ,x_n)\)，
由此，我們可以定義通用程式\(phi \)，則有，
\(phi (x_1,x_2,cdots ,x_n,y)=psi (x_1,x_2,cdots ,x_n)\)
其中，\(y\)是程式\(mathscr\)的編碼。
因為，所有的程式與自然數集一一對應，
所以，\(phi (x_1,x_2,cdots ,x_n,0),phi (x_1,x_2,cdots ,x_n,1),cdots\)
列舉了所有的\(n\)元可計算函式。
我們定義\(w_y=lbrace xin n|phi(x,y)downarrow rbrace \)，
根據遞迴可列舉集的定義，每乙個\(w_y\)是乙個遞迴可列舉集，
又因為\(phi(x,0),phi(x,1),cdots \)列舉了所有的可計算函式，
所以，\(w_0,w_1,cdots \)列舉了所有的遞迴可列舉集。
因此，集合\(b\)是遞迴可列舉的，當且僅當存在\(yin n\)，使得\(b=w_y\)，
稱為列舉定理，這就是「列舉」的含義。
因此，我們找到了乙個非遞迴的遞迴可列舉集\(k\)，
以及乙個非遞迴可列舉集\(bar\)。
任給乙個程式和乙個自然數，問該程式對這個自然數輸入的計算是否停止，
這個問題稱為停機問題。
我們可以用謂詞\(h(x,y)\)描述這個問題，
\(h(x,y)\)，表示以\(y\)為**的程式對輸入\(x\)的計算最終停止。
那麼，\(h(x,y)\)是不可計算的，即，不存在乙個程式來計算\(h(x,y)\)。
我們來證明一下，假設有乙個程式可以計算\(h(x,y)\)，
那麼我們就能用它來構造乙個新程式\(mathscr\)，它的輸入是\(x\)，
這段程式當\(h(x,x)\)為真時，計算不停止，而當\(h(x,x)\)為假時，計算停止。
程式\(mathscr\)也可以進行編碼，假設為\(y_0\)，現在我們來判斷\(h(y_0,y_0)\)。
如果\(h(y_0,y_0)\)為真，意味著編碼為\(y_0\)的程式以\(y_0\)作為輸入最終停止，
即程式\(mathscr\)，輸入為\(y_0\)時，最終停止，
可是根據\(mathscr\)的定義，此時\(h(x,x)=h(y_0,y_0)\)為假才會停止，矛盾。
如果\(h(y_0,y_0)\)為假，意味著編碼為\(y_0\)的程式以\(y_0\)作為引數最終不會停止，
即程式\(mathscr\)，輸入為\(y_0\)時，最終不停止，
可是根據\(mathscr\)的定義，此時\(h(x,x)=h(y_0,y_0)\)為真才不會停止，矛盾。
\(h(y_0,y_0)\)不能為真也不能為假，矛盾，
因此，計算\(h(x,x)\)的程式不存在，我們也無法用它來構造程式\(mathscr\)。
可判定性問題，指的是乙個詢問真或者假的問題是否可以被回答。
如果我們總能回答出這個問題是真或者是假，就稱該問題是可判定的，
如果我們只能當問題為真的時候確定為真，為假的時候所進行的計算可能不會終止，那麼就稱該問題是半可判定的。
某元素是否屬於乙個遞迴集，是可判定的，
某元素是否屬於乙個遞迴可列舉集，是半可判定的。
因為，遞迴集使用乙個遞迴的全函式定義的，
而遞迴可列舉集是使用第乙個部分遞迴函式定義的，
我們無法判斷某個部分遞迴函式，在接受某引數時，是沒有定義，還是計算尚未停止。
即，判斷元素是否屬於某遞迴可列舉集的程式可能永不停機。
本文介紹了函式的可計算性，通用程式，以及最多有多少個程式，
還了解了停機問題和可判定性問題。
這些都是可計算性理論的基礎，我們清晰的看到了人類的計算能力，
以及用遞迴所能計算的函式範圍，後文中我們開始討論不動點理論，
這同樣是乙個有趣的話題。
配對函式和哥德爾數，是對數偶和有窮數列的一種編碼方式。
（1）配對函式
令\(langle x,yrangle=2^x(2y+1)-1\)，稱\(langle x,yrangle \)為配對函式，它是乙個原始遞迴函式。
任給乙個數\(z\)，存在唯一的一對數\(x\)和\(y\)，使得\(langle x,yrangle =z\)。
\(x\)是\(z+1\)含有因子\(2\)的個數，即使得\(2^t|(z+1)\)的\(t\)的最大值。
\((z+1)/2^x\)必為奇數，\(y\)是\(2y+1=(z+1)/2^x\)的唯一解。
一般的，記\(l(z)=x\)，\(r(z)=y\)，則\(l(z)\)和\(r(z)\)也是原始遞迴函式。
（2）哥德爾數
記\([a_1,a_2,cdots ,a_n]=prod_^p_i^\)，
\([a_1,a_2,cdots ,a_n]\)稱為有窮數列\((a_1,a_2,cdots ,a_n)\)的哥德爾數。
其中，\(p_i\)是第\(i\)個素數。
例如，\([2,0,1,3]=2^2cdot 3^0cdot 5^1cdot 7^3=6860\)。
對於每乙個固定的\(n\)，\([a_1,a_2,cdots ,a_n]\)是原始遞迴函式，並且這種編碼具有唯一性。
配對函式
哥德爾數
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