節點的最近公共祖先倍增演算法

## **題目描述**：

這是乙個裸的lca問題，即求書上兩個節點的最近公共祖先。

我們可以用樹上倍增來做；

當然，在做之前我們假設不知道該演算法。那麼我們如何來做這種型別的題目呢？

顯然，我們可以用暴力來做，找到兩點的最近公共祖先，我們可以用前向星存雙向邊，然後依次儲存每個點到的根的路徑。然後找到最先同時出現在兩條路徑的公共點即可；

顯然，這樣是可做的。但是這樣做，考慮到:

1.當書的深度非常大

2.當最壞情況樹退化為一條鏈式

3.當詢問次數非常多的時候。

以上，無論那種情況，起步都是o（n^2）的複雜度,顯然，這樣的做法並不夠優秀，所以我們引入倍增的做法，它可以nlogn的時間複雜度完成預處理，每次詢問logn的時間給出回答；

倍增演算法：所謂倍增，就是按2的倍數來增大，也就是跳 1,2,4,8,16,32 …… 不過在這我們不是按從小到大跳，而是從大向小跳，即按……32,16,8,4,2,1來跳，如果大的跳不過去，再把它調小。這是因為從小開始跳，可能會出現「悔棋」的現象。拿 5為例，從小向大跳，5≠1+2+4,所以我們還要回溯一步，然後才能得出5=1+4；而從大向小跳，直接可以得出5=4+1。這也可以拿二進位制為例，5(101)，從高位向低位填很簡單，如果填了這位之後比原數大了，那我就不填，這個過程是很好操作的。

lca的倍增做法就是用乙個fa[i][j]陣列來儲存 i 節點的 2^j 倍父親是哪個節點；這樣做每次都是2倍區間查詢，所以可以在logn的時間給出答案；

我們先跑一遍dfs，初始化深度 d陣列，初始化 fa[i][0] 。跑一遍dfs後，d陣列儲存的就是每個節點的深度（預設根節點深度為1）. fa陣列儲存的就是 fa[i][0] 就是每個節點儲存的都是他父親節點的編號；

跑完dfs，我們需要對全域性fa進行賦值；這裡用到的轉移方程是

fa[i][j] = fa[fa[i][j-1]][j-1] 。

比如(畫的比較醜)

2節點的 fa[2][0] 為 1 。就是 2節點的 (2^0 = 1)的父親為 1

4節點的fa[4][0]為 2。就是 4號節點的父親為 2

要求 fa4 我們可以表示為 fa[fa[4][0]][0]，就是4號父親的父親，這樣遞推上去，就可以的出每個fa；

完成這步之後，我們剩下就是求lca了；

先把x節點和y節點挪到同一層，挪到同一層後，若 x == y 代表一開始 x 就是y的祖先或者y是x的祖先；

若 x != y，則我們找到最深的滿足 fa[x][i] != fa[y][i] ；

然後返回x的父親節點即可。

至此，我們的演算法就結束了；

lca倍增學習：很明白的lca教程

1.建樹用前向星建，注意邊數為n-1條，雙向邊，則應該開闢max_n * 2空間

2.這道題指明a是b的父親，得用並查集維護一下根節點，不然會wa的

#include
using namespace std;
#define max_n 10010
int head[max_n]
, cnt =
0, d[max_n]
, fa[max_n][30
];struct nodeedge[max_n *2]
;void
add(
int x,
int y)
void
dfs(
int k)}}
intlca
(int x,
int y)
for(
int i =
20; i>=
0; i--)}
if(x == y)
return x;
for(
int i =
20; i>=
0; i--)}
return fa[x][0
];}int pre[max_n]
;void
init
(int n)
intfind
(int x)
void
union
(int x,
int y)
}int
main()
for(
int i =
1; i
)int r =
find
(pre[1]
);fa[r][0
]=0, d[r]=1
;dfs
(r);
for(
int i =
1; i<=
20; i++)}
int t;
cin >> t;
while
(t--
)return0;
}

節點的最近公共祖先倍增演算法

最近公共祖先倍增演算法

LCA 最近公共祖先（倍增演算法）

最近公共祖先 LCA 倍增演算法

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