兩個有序序列的中位數

2021-08-31 11:41:34 字數 1291 閱讀 6660

問題：

已知有兩個等長的非降序序列s1, s2, 設計函式求s1與s2並集的中位數。有序序列a​0​​,a​1​​,⋯,a​n−1​​的中位數指a​(n−1)/2​​的值,即第⌊(n+1)/2⌋個數（a​0​​為第1個數）。

演算法描述：

① 輸入兩個長度自定且等長的陣列，然後對他們進行賦值。演算法的思路是分別取他們的中位數進行比較，假設兩個陣列如下：

1 3 5 7 9
2 3 4 5 6
上面陣列的中位數是比下面陣列的中位數大的，接下來的操作就是取大中位數的左邊（包括中位數），取小中位數的右邊（包括中位數）。

1 3 5
4 5 6
再次重複以上操作，最後有

3 5
4 5
接下來已經不能再分別取他們的中位數縮小範圍了，所以對兩個陣列進行比較。取陣列的首位進行比較，如上即是3和4進行比較，若是哪邊比較小就取它的下一位進行比較。過程就是3和4比（3比4小，所以下標加1）→5和4比（4比5小，所以得到中位數為4）→中位數為4。

這是當陣列為奇數長度的情況，若是陣列長度為1，或者是陣列長度為偶數，要再次進行討論。

② 當陣列長度為1時，比較兩個數，誰比較小誰就是中位數。

③ 當陣列長度為偶數時，

-100 -10 1 1 1 1
-50 0 2 3 4 5
在第一步，取陣列的中位數時候，若是按照奇數的方法，我們會發現，最後取出來的兩個陣列不是等長的，這樣的話就會對我們的實際結果造成影響。如上，我們可以乙個陣列取第三個數，乙個陣列取第四個數這樣進行比較，這樣接下來得到的陣列都是等長的。接下來步驟和奇數陣列一樣。

④ 在這裡，偶數陣列這樣的取法原因是，我們每次取新陣列出來，只要兩個陣列的長度和加起來是原來陣列的一半或者大於一半，我們就可以保證中位數一直在我們取出來的新陣列裡面，不會出現中位數丟失的情況。

演算法時間及空間複雜度分析：

時間複雜度：每一次呼叫的過程為判斷餘下陣列長度是否大於2，接下來判斷陣列個數是奇數個還是偶數個，最後判斷兩個陣列的中位數誰大誰小。所以t(n) = o(1)+o(1)+o(1)。總共執行次數為logn次。在主函式中，執行的語句為建立兩個陣列還有陣列左右下標等變數，和為陣列賦值。所以總的時間複雜度為t(n) = logn*t(n)+o(n)+o(1) = o(logn)。

空間複雜度：演算法中輔助空間並不隨著陣列長度n而線性增大，所以空間複雜度為o(1)。

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