給定
n個物品和乙個揹包。物品
i的重量為wi
，價值為vi
，揹包容量為
c。問如何選擇裝入揹包中的物品，使得裝入揹包的物品的價值最大？
在裝入揹包時，每種物品
i只有兩種選擇，裝入或者不裝入，既不能裝入多次，也不能只裝入一部分。
因此，此問題稱為
0-1揹包問題.0-1揹包問題是乙個特殊的整數規劃問題。
輸入：物品的數目n，揹包的容量c。各個物品的重量wi，各個物品的價值vi。
輸出：裝入揹包的最大價值。各個物品是否裝入揹包，裝入輸出1，不裝入輸出0.
執行結果：
0-1揹包問題的形式描述：
•問題的形式描述是：給定c＞0，wi＞0，vi＞0，1≤i≤n，求n元0-1向量(x1, x2,…, xn)，使得
揹包問題的最優子結構性質：
•設(y
1, y2,
…, yn)
是所給0-1
揹包問題的乙個最優解，則(y2
, …, yn
)是下面對應問題的最優解：
n否則，設(z2
, …, zn
)是最優解，則(y1
, z2, …
, zn
)是原問題的最優解，而(y1
, y2, …
, yn
)不是最優解。矛盾.、
•設所給
0-1揹包問題的子問題
其最優解為
m(i, j)
，即揹包容量為
j，可選擇物品為
i, i+1,
…, n
時0-1
揹包問題的最優解，則
0-1揹包問題的遞迴演算法：
•用二維陣列
m[i][j], 0≤j≤c,
儲存m(i, j)
的值。
•求解0-1
揹包問題就是在二維陣列
m中填入相應的值。 •而
m[1][c]
中的值就是該揹包問題的解。
在二維陣列
m中最先填入的應該是哪些呢？
二維陣列m中
最先填入只能選擇物品n
的最優解
m(n, j)：
若0≤j＜w
n，m[n][j]=0；
若
j≥wn
，m[n][j]=vn。
n然後從物品n–
1到物品1
逐個填入它們的最優解
m(i, j)：
n若0≤j＜wi
，m[i][j]= m[i+1][j]; n
若j≥w
i，
m[i][j]=
max
template void knapsack(type *v, int *w, int c, int n, type m[maxn])
m[1][c] = m[2][c];
if(c >= w[1])
m[1][c] = max(m[2][c], m[2][c-w[1]] + v[1]);
}
若m[1][c]=m[2][c]，則x1=0,否則x1=1.
當x1=0時，由m[2][c]繼續構造最優解。當x1=1時，由m[2][c-w1]繼續構造最優解。依次類推，可構造出相應的最優解(x1,x2,.....xn)
template void traceback(type m[maxn], int *w, int c, int n, int *x)
}x[n] = (m[n][c])? 1:0;
}
i要填入
m[i][1], m[i][2],
…, m[i][c]，n
個物品共要填寫
nc個，因此整個演算法的時間複雜性是
o(nc)。
•此演算法在揹包容量
c很大時所需的計算時間量很大。如
c=2n
，則演算法的複雜性為
o(n2n)。
•演算法的不足：要求物品的重量
wi是整數，而不能為實數。
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...