一、問題描述：有n 個物品，它們有各自的重量和價值，現有給定容量的揹包，如何讓揹包裡裝入的物品具有最大的價值總和？
二、總體思路：根據動態規劃解題步驟（問題抽象化、建立模型、尋找約束條件、判斷是否滿足最優性原理、找大問題與小問題的遞推關係式、填表、尋找解組成）找出01揹包問題的最優解以及解組成，然後編寫**實現；
三、動態規劃的原理及過程：
eg：number＝4，capacity＝8
i
1
2
3
4
w(體積)
v(價值)
1、原理
動態規劃與分治法類似，都是把大問題拆分成小問題，通過尋找大問題與小問題的遞推關係，解決乙個個小問題，最終達到解決原問題的效果。但不同的是，分治法在子問題和子子問題等上被重複計算了很多次，而動態規劃則具有記憶性，通過填寫表把所有已經解決的子問題答案紀錄下來，在新問題裡需要用到的子問題可以直接提取，避免了重複計算，從而節約了時間，所以在問題滿足最優性原理之後，用動態規劃解決問題的核心就在於填表，表填寫完畢，最優解也就找到。
2、過程
a) 把揹包問題抽象化（x1，x2，…，xn，其中 xi 取0或1，表示第 i 個物品選或不選），vi表示第 i 個物品的價值，wi表示第 i 個物品的體積（重量）；
b) 建立模型，即求max(v1x1+v2x2+…+vnxn)；
c) 約束條件，w1x1+w2x2+…+wnxnd) 定義v(i,j)：當前揹包容量 j，前 i 個物品最佳組合對應的價值；
e) 最優性原理是動態規劃的基礎，最優性原理是指「多階段決策過程的最優決策序列具有這樣的性質：不論初始狀態和初始決策如何，對於前面決策所造成的某一狀態而言，其後各階段的決策序列必須構成最優策略」。判斷該問題是否滿足最優性原理，採用反證法證明：
假設(x1，x2，…，xn)是01揹包問題的最優解，則有(x2，x3，…，xn)是其子問題的最優解，
假設(y2，y3，…，yn)是上述問題的子問題最優解，則理應有(v2y2+v3y3+…+vnyn)+v1x1 > (v2x2+v3x3+…+vnxn)+v1x1；
而(v2x2+v3x3+…+vnxn)+v1x1=(v1x1+v2x2+…+vnxn)，則有(v2y2+v3y3+…+vnyn)+v1x1 > (v1x1+v2x2+…+vnxn)；
該式子說明(x1，y2，y3，…，yn)才是該01揹包問題的最優解，這與最開始的假設(x1，x2，…，xn)是01揹包問題的最優解相矛盾，故01揹包問題滿足最優性原理；
f) 尋找遞推關係式，面對當前商品有兩種可能性：
第一，包的容量比該商品體積小，裝不下，此時的價值與前i-1個的價值是一樣的，即v(i,j)=v(i-1,j)；
第二，還有足夠的容量可以裝該商品，但裝了也不一定達到當前最優價值，所以在裝與不裝之間選擇最優的乙個，即v(i,j)=max｛ v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i) ｝
其中v(i-1,j)表示不裝，v(i-1,j-w(i))+v(i) 表示裝了第i個商品，揹包容量減少w(i)但價值增加了v(i)；
由此可以得出遞推關係式：
1)j
2)j>=w(i)v(i,j)=max｛v(i-1,j)，v(i-1,j-w(i))+v(i)｝
g) 填表，首先初始化邊界條件，v(0,j)=v(i,0)=0；
h) 然後一行一行的填表，
1) 如，i=1，j=1，w(1)=2，v(1)=3，有j2) 又如i=1，j=2，w(1)=2，v(1)=3，有j=w(1),故v(1,2)=max｛ v(1-1,2)，v(1-1,2-w(1))+v(1) ｝=max｛0，0+3｝=3；
3) 如此下去，填到最後乙個，i=4，j=8，w(4)=5，v(4)=6，有j>w(4)，故v(4,8)=max｛ v(4-1,8)，v(4-1,8-w(4))+v(4) ｝=max｛9，4+6｝=10；所以填完表如下圖：
i) **填完，最優解即是v(number,capacity)=v(4,8)=10，但還不知道解由哪些商品組成，故要根據最優解回溯找出解的組成，根據填表的原理可以有如下的尋解方式：
1) v(i,j)=v(i-1,j)時，說明沒有選擇第i 個商品，則回到v(i-1,j)；
2) v(i,j)=v(i-1,j-w(i))+v(i)實時，說明裝了第i個商品，該商品是最優解組成的一部分，隨後我們得回到裝該商品之前，即回到v(i-1,j-w(i))；
3) 一直遍歷到i＝0結束為止，所有解的組成都會找到。
j) 如上例子，
1) 最優解為v(4,8)=10，而v(4,8)!=v(3,8)卻有v(4,8)=v(3,8-w(4))+v(4)=v(3,3)+6=4+6=10，所以第4件商品被選中，並且回到v(3,8-w(4))=v(3,3)；
2) 有v(3,3)=v(2,3)=4，所以第3件商品沒被選擇，回到v(2,3)；
3) 而v(2,3)!=v(1,3)卻有v(2,3)=v(1,3-w(2))+v(2)=v(1,0)+4=0+4=4，所以第2件商品被選中，並且回到v(1,3-w(2))=v(1,0)；
4) 有v(1,0)=v(0,0)=0，所以第1件商品沒被選擇；
k) 到此，01揹包問題已經解決，利用動態規劃解決此問題的效率即是填寫此張表的效率，所以動態規劃的時間效率為o(number*capacity)=o(n*c)，由於用到二維陣列儲存子問題的解，所以動態規劃的空間效率為o(n*c)；
動態規劃揹包問題 01揹包
問題描述 n種物品，每種乙個。第i種物品的體積為vi，重量為wi。選一些物品裝到容量為c的揹包，使得揹包內物品不超過c的前提下，重量最大。問題分析 宣告乙個f n c 的陣列。f i j 表示把前i件物品都裝到容量為j的揹包所獲得的最大重量。當 j v i 時，揹包容量不足以放下第 i 件物品，f ...
動態規劃 揹包問題 01揹包
有n種物品和乙個容量為v的揹包，每種物品僅用一次。第i件物品的費用是w i 價值是v i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。例如 n 5,v 10 重量 價值 第乙個物品 10 5 第二個物品 1 4 第三個物品 2 3 第四個物品 3 2 第五個物品 4 1 首先我們考慮貪心策略，選取最大價...
0 1揹包問題（動態規劃）
一 問題描述 有n件物品和乙個容量為v的揹包。第i件物品的費用是c i 價值是w i 求解將哪些物品裝入揹包可使價值總和最大。所謂01揹包，表示每乙個物品只有乙個，要麼裝入，要麼不裝入。二 解決方案 考慮使用動態規劃求解，定義乙個遞迴式 opt i v 表示前i個物品，在揹包容量大小為v的情況下，最...