面試中，除了topk，是否被問過：求乙個正整數的二進位制表示包含多少個1？
畫外音：姊妹篇《拜託，面試別再問我topk了！！！》。
例如：uint32_t i=58585858;
i的二進位制表示
是： 0000 00110
111 11
01 1111
0011
0000 0010
於是，i的二進位制表示包含15個1。
到底有幾種方法，這些思路裡蘊含的優化思路究竟是怎麼樣的，今天和大家聊一聊。
一、位移法
思路：既然輸入n是uint32，每次取n的最低位，判斷是不是1，位移32次，迴圈判斷即可。
偽**：
do n>>= 1;
i++;
} while(i<32);
分析：不管n的二進位制表示裡包含多少個1，都需要迴圈
計算32次
，比較耗時。有沒有可能，每次消除掉乙個1，這樣來降低計算次數呢？
二、求與法
觀察一下n與
n-1這兩個數的二進位制表示：
栗子：
x =1011 0000
x-1=1010 1111
x & (x-1) =1010 0000
於是，n&(n-1)這個操作，可以起到「
消除最後乙個1
」的功效。
思路：逐步通過n&(n-1)，來消除n末尾的1，消除了多少次，就有多少個1。
偽**：
while(n)
分析：這個方法，n的二進位制表示
有多少個1，就會計算多少次
。總的來說，n的長度是32bit，如果n的值選取完全隨機，平均期望由16個1構成，
平均下來16次
，節省一半的計算量。
畫外音：校招時，我問過這樣的面試題，「如何快速判斷乙個正整數是不是2的x次冪」，巧妙解法是
return !(n&(n-1));
即，如果n是2的x次冪，二進位制表示只有乙個1。
三、查表法
空間換時間，是
演算法優化中最常見的手段
，如果有相對充裕的記憶體，可以有更快的演算法。
思路：乙個uint32的正整數n，
一旦n的值確定，n的二進位制表示中包含多少個1也就確定了
，理論上無需重新計算：
1的二進位制表示中包含1個1
2的二進位制表示中包含1個1
3的二進位制表示中包含2個1
… 58585858的二進位制表示中包含15個1
...提前計算好結果陣列：
result[1]=1;
result[2]=1;
result[3]=2;
… result[58585858]=15; …
偽**：
return result[n];
查表法的好處是，
時間複雜度為o(1)
，潛在的問題是，需要很大的記憶體。
記憶體分析：
假如被分析的整數是uint32，打表陣列需要記錄2^32個正整數的結果。
n的二進位制表示最多包含32個1，儲存結果的計數，使用5個bit即可。
故，共需要記憶體2^32 * 5bit = 2.5gb。
四、二次查表法
查表法，非常快，只查詢一次，但消耗記憶體太大，在工程中幾乎不被使用。
演算法設計，本身是乙個時間複雜度與空間複雜度的折衷，增加計算次數，往往能夠減少儲存空間。
思路：
（1）把uint32的正整數n，分解為低16位正整數n1，和高16正整數n2；
（2）n1查一次表，其二進位制表示包含a個1；
（3）n2查一次表，其二進位制表示包含b個1；
（4）則，n的二進位制表示包含a+b個1；
偽**：
uint16 n1 = n & 0xffff;
uint16 n2 = (n>>16) & 0xffff;
return result[n1]+result[n2];
問題來了：增加了一倍的計算量（1次查表變2次查表），記憶體空間是不是對應減少一半呢？
記憶體分析：
被分析的整數變成uint16，打表陣列需要記錄2^16個正整數的結果。
n1和n2的二進位制表示最多包含16個1，儲存結果的計數，使用4個bit即可。
故，共需要記憶體2^16 * 4bit = 32kb。
畫外音：幫忙看下，算錯了沒有。
好神奇！！！
計算量多了1次（1倍），記憶體佔用量卻由2.5g降到了32k（1萬多倍），是不是很有意思？
五、總結
數1，不難；但其思路有優化過程，並不簡單：
（1）位移法，32次計算；
（2）n&(n-1)，能消除乙個1，平均16次計算；
（3）查表法，1次查表，2.5g記憶體；
（4）二次查表法，2次查表，32k記憶體；
知其然，知其所以然。
思路比結論重要。
希望大家對「數1」有新的認識，謝轉。
作業題：公升級為4次查表，需要使用多少記憶體呢？
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