螞蟻爬橡皮筋問題

關於這個問題很多地方都有討論。例如還有這裡寫點不一樣的理解與解法。

原題為「一條可以均勻拉伸無限拉伸的橡皮筋，初始長度為1公尺，乙個累不死的螞蟻，從橡皮筋的一端爬到另一端，螞蟻爬行速度為1厘公尺每秒，橡皮筋拉伸的速度為10厘公尺每秒！問：螞蟻可以爬到橡皮的另一端嗎？如果可以要用多久的時間！」

為討論方便起見，橡皮筋初始長度用l0表示，螞蟻爬行速度用va表示，橡皮筋拉伸速度用vr表示。

首先要明白一件事，橡皮筋拉伸速度應該是相對地面而言的。其次這裡說的va的參照系應該是針對橡皮筋而言的，因為螞蟻就是在橡皮筋上爬的。假設是相對地面。那麼這只螞蟻累到死，也是不可能到達另一端的。那麼我們只需要把螞蟻的速度轉換為相對地面參考係的速度，問題就比較容易解答了。

速度合成式為螞蟻相對地面速度 = va + 當前螞蟻所在位置的伸長速度

再多幾個假設。假設橡皮筋兩端分別為a與b, a 左, b右。a點固定，b點被拉伸。在拉伸開始時設a 點往右 x 處有一點c。那麼不管經過多長時間。 c所處位置在橡皮筋的長度中所佔的比例不變.

c點的拉伸速度為 :

注意這個速度會一直保持不變,而且只和它在橡皮筋中所佔的比例相關。所以如果經過 t 時間，橡皮筋上距離 a 點 s 處的速度應該為

所以合成速度為:

再應用速度與位移的微分方程:

就得到

再解這個一階線性非齊次微分方程

可得

把 t = 0 時 s = 0代入，求得 c2 = 0; 則

再求得

同樣地，根據題意t = 0時，v = va, 又得c1 = 1

所以：

更好的思路推薦

寫道續：直接積分，按螞蟻爬行距離佔橡皮筋比例來討論

假設經過時間t後，螞蟻到達位置s，此時橡皮筋長度為l=l+v2t。由時間t經過時間dt後，螞蟻爬行的距離為v1dt，由於時間短很小，因此可假定橡皮筋還來不及拉伸，在這段極短的時間dt內，螞蟻爬行的距離佔整個橡皮長度的比例為

注意他的速度合成公式是錯的不應該是 v = va - (1 - r) vr , 而應該是 v = va + r * vr 。這個速度合成公式和我們的是一致的。