C 二叉查詢樹

二叉排序樹（binary sort tree），又稱二叉查詢樹（binary search tree），亦稱二叉搜尋樹。

二叉排序樹或者是一棵空樹，或者是具有下列性質的二叉樹：

（1）若左子樹不空，則左子樹上所有結點的值均小於或等於它的根結點的值；

（2）若右子樹不空，則右子樹上所有結點的值均大於或等於它的根結點的值；

（3）左、右子樹也分別為二叉排序樹；

若根結點的關鍵字值等於查詢的關鍵字，成功。

否則，若小於根結點的關鍵字值，遞迴查左子樹。

若大於根結點的關鍵字值，遞迴查右子樹。

若子樹為空，查詢不成功。

平均情況分析（在成功查詢兩種的情況下）：

在一般情況下，設 p（n，i）為它的左子樹的結點個數為 i 時的平均查詢長度。如圖的結點個數為 n = 6 且 i = 3; 則 p（n,i）= p（6, 3） = [ 1+ ( p(3) + 1) * 3 + ( p(2) + 1) * 2 ] / 6= [ 1+ ( 5/3 + 1) * 3 + ( 3/2 + 1) * 2 ] / 6

注意：這裡 p(3)、p(2) 是具有 3 個結點、2 個結點的二叉分類樹的平均查詢長度。在一般情況，p（i）為具有 i 個結點二叉分類樹的平均查詢長度。平均查詢長度= 每個結點的深度的總和 / 總結點數

（上圖應為左子樹p(3)，右子樹p(2)）

p(3) = （1+2+2）/ 3 = 5/3

p(2) = （1+2）/ 2 = 3/2∴ p（n,i）= [ 1+ ( p(i) + 1) * i + ( p(n-i-1) + 1) * (n-i-1) ] / n

∴ p（n）=

p（n,i）/ n <= 2(1+i/n)lnn

因為 2(1+i/n)lnn≈1.38logn 故p(n)=o(logn)

編輯在二叉排序樹刪去乙個結點，分三種情況討論：

若*p結點為葉子結點，即pl(左子樹)和pr(右子樹)均為空樹。由於刪去葉子結點不破壞整棵樹的結構，則可以直接刪除此子結點。

若*p結點只有左子樹pl或右子樹pr，此時只要令pl或pr直接成為其雙親結點*f的左子樹（當*p是左子樹）或右子樹（當*p是右子樹）即可，作此修改也不破壞二叉排序樹的特性。

若*p結點的左子樹和右子樹均不空。在刪去*p之後，為保持其它元素之間的相對位置不變，可按中序遍歷保持有序進行調整，可以有兩種做法：

其一是令*p的左子樹為*f的左/右(依*p是*f的左子樹還是右子樹而定)子樹，*s為*p左子樹的最右下的結點，而*p的右子樹為*s的右子樹；

其二是令*p的直接前驅（或直接後繼）替代*p，然後再從二叉排序樹中刪去它的直接前驅（或直接後繼）－即讓*f的左子樹(如果有的話)成為*p左子樹的最左下結點(如果有的話)，再讓*f成為*p的左右結點的父結點。

using system;
public class binarysearchtree }/*
* 前序遍歷
若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 訪問根結點；
(02) 先序遍歷左子樹；
(03) 先序遍歷右子樹。
引數為節點，首先列印值，在按照根左右遍歷
*/private void preorder(bstnodetree)
}//無引數直接遍歷根節點
public void preorder()
/*中序遍歷
若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 中序遍歷左子樹；
(02) 訪問根結點；
(03) 中序遍歷右子樹。
遞迴遍歷，直接遍歷最左端的節點，在列印節點值
* */
private void inorder(bstnodetree)
}public void inorder()
/*後序遍歷
若二叉樹非空，則執行以下操作：
(01) 後序遍歷左子樹；
(02) 後序遍歷右子樹；
(03) 訪問根結點。
*/private void postorder(bstnodetree)
}public void postorder()
/** (遞迴實現)查詢"二叉樹x"中鍵值為key的節點
*/private bstnodesearch(bstnodex, t key)
public bstnodesearch(t key)
/** (非遞迴實現)查詢"二叉樹x"中鍵值為key的節點
*/private bstnodeiterativesearch(bstnodex, t key)
return x;
}public bstnodeiterativesearch(t key)
/* * 查詢最大結點：返回tree為根結點的二叉樹的最大結點。
*/private bstnodemaximum(bstnodetree)
public t maximum()
/* * 查詢最小結點：返回tree為根結點的二叉樹的最小結點。
*/private bstnodeminimum(bstnodetree)
public t minimum()
/* * 找結點(x)的前驅結點。即，查詢"二叉樹中資料值小於該結點"的"最大結點"。
*/public bstnodepredecessor(bstnodex)
return y;
}/* 
* 找結點(x)的後繼結點。即，查詢"二叉樹中資料值大於該結點"的"最小結點"。
*/public bstnodesuccessor(bstnodex)
return y;}}

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