摘自：
該類問題涉及到三個因素，分別是球、盒子、盒子是否可以為空。所以大概可以將該問題分為以下八種情況：
1.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目無限制，有多少種情況？
2.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
3.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
4.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
5.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
6.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
7.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
8.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？球盒子
盒子內數目限制
無區別有標誌
數目不限
無區別有標誌
無一空盒
無區別無標誌
數目不限
無區別無標誌
無一空盒
有區別有標誌
數目不限
有區別有標誌
無一空盒
有區別無標誌
數目不限
有區別無標誌
無一空盒
1.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目無限制，有多少種情況？
方法數目為：f(n,r)=crn+r−1=(n+r−1)!r!(n−1)!f(n,r)=cn+r−1r=(n+r−1)!r!(n−1)!
本質上是多重組合問題，也就是從n個不同的元素中可重複地選取r個不考慮順序的組合數為f(n,r)
2.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
方法數目為：∑ni=0(−1)icin(n−i)r∑i=0n(−1)icni(n−i)r
可以用容斥原理來解答，設aiai 表示盒子i為空的情況，那麼方法數就是|a1¯¯¯¯¯¯∩a2¯¯¯¯¯¯...∩an¯¯¯¯¯¯|=nr−c1n(n−1)r+c2n(n−2)r+...+(−1)ncnn(n−n)r|a1¯∩a2¯...∩an¯|=nr−cn1(n−1)r+cn2(n−2)r+...+(−1)ncnn(n−n)r
或者可以從第二類stirling數的角度來思考，方法數為n!s(r,n)n!s(r,n) ,結果和上面的一致。
3.將r個無區別的球放入n個有標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
可以用母函式或者多重組合來解決，方法數為cr−nr−1=cn−1r−1cr−1r−n=cr−1n−1
4.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
方法數為第二類stirling數，s(r,n)=1n!∑ni=0(−1)icin(n−i)rs(r,n)=1n!∑i=0n(−1)icni(n−i)r
這裡說明一下，第二類stirling數s(r,n)就是將r個元素的集合劃分為n個不相交非空子集的方案數。
5.將r個有區別的球放入n個有標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
這種情況最簡單了，方案數目為nrnr
也就是每次放乙個球，都有n種放法。
6.將r個有區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
這種情況也是用第二類stirling數來解決，可以理解為有0個盒子為空，有1個盒子為空，有兩個盒子為空……
方案數目為s(r,1)+s(r,2)+...+s(r,n)s(r,1)+s(r,2)+...+s(r,n)
其中，s(r,n)表示劃分成n個子集，也就是沒有乙個為空，s(r,n-1)劃分為n-1個子集，也就是有乙個盒子為空。
7.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，盒內數目不限制，有多少種情況？
方法數目為1(1−x)(1−x2)...(1−xn)1(1−x)(1−x2)...(1−xn) 的xrxr 的係數
8.將r個無區別的球放入n個無標誌的盒中，沒有乙個盒子為空，有多少種情況？
方法數目為xn(1−x)(1−x2)...(1−xn)xn(1−x)(1−x2)...(1−xn) 的xrxr 的係數
第7、8兩種情況較為複雜，在此不做解釋
排列組合 n個球放入m個盒子m 問題 總結
原文 求，盒子都可以分成是否不能區分，和能區分，還能分成是否能有空箱子，所以一共是8種情況，我們現在來一一討論。1.球同，盒不同，無空箱 c n 1,m 1 n m 0,n使用插板法 n個球中間有n 1個間隙，現在要分成m個盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n 1個間隙選出m 1個間隙即可 2.球同...
排列組合 n個球放入m個盒子m 問題 總結
求，盒子都可以分成是否不能區分，和能區分，還能分成是否能有空箱子，所以一共是8種情況，我們現在來一一討論。1.球同，盒不同，無空箱 c n 1,m 1 n m 0,n使用插板法 n個球中間有n 1個間隙，現在要分成m個盒子，而且不能有空箱子，所以只要在n 1個間隙選出m 1個間隙即可 2.球同，盒不...
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