海亮DAY22 一線性動態規劃

**：海量集訓-動態規劃

分三次更新

###基本概念：動態規劃(dynamic programming)是運籌學的乙個分支，是求解多階段決策過程最優化的數學方法。(十分抽象)

用圖表示：

（嘔心瀝血的花了我五分鐘的事件啊！）

由上圖可知，想要實現動態規劃，就必須有以下階段：

1、劃分階段

按照時間或空間特徵，有序的或者是可排序的

2 確定狀態和狀態變數

可以表示各個階段時所處於的各種客觀情況,滿足無後效性原則

3 確定決策並寫出狀態轉移方程

根據相鄰兩段的各個狀態之間的關係

4 尋找邊界條件

起始條件,終止條件

並且動態規劃必須滿足以下性質：

1、最優化原理 2、無後效性

簡單的說這兩條原理就是後一種狀態只能由前一種狀態更新，而不能由後一種狀態更新前一種狀態，否則就會造成乙個環，做很多無用功

那麼接下來進入正題：

概念：所謂線性dp（又叫序列dp）就是在乙個給定的序列上進行dp，而因為序列大多都是線性，所以稱為線性dp

它的狀態是可以是一維的，也可以是多維的。本類的狀態是基礎的基礎，大部分的動態規劃都要用到它。

一些基本問題：

一、最長上公升子串行（lis）

題目描述：給定乙個序列，請求出其中嚴格遞增的子串行的長度。

分析：首先我們用乙個f[i]表示1到i的最長上公升子串行的長度。

我們思考，如何進行狀態轉移？

對於當前狀態f[i]，可以由之前的狀態f[j]轉移過來,且我們知道，題目所求的是最長上公升序列，我們列舉之前的j時，一旦a[i]>a[j]，說明之前的a[j]能與a[i]組成乙個最長上公升序列，即這時f[i]=f[j]+1。這樣，我們只需要求出f[j]的最大值便可。

狀態轉移方程如下：

f [i

]=f[i-1][j-1]+1, & \text \\ max(f[i-1][j],f[i][j-1]), & \text \end

f[i][j

]=a[100001]=

;//結構體，方便排序

int x,y,n;

int dp[

1000001]=

;int maxx=0;

inline

bool

mycmp

(node xx,node yy)

//按左端點從小到大排序

intmain()

printf

("%d"

,maxx)

;return0;

}二、合唱隊形

題目描述：　n位同學站成一排，**老師要請其中的(n-k)位同學出列，使得剩下的k位同學排成合唱隊形。

合唱隊形是指這樣的一種隊形：設k位同學從左到右依次編號為1，2…，k，他們的身高分別為t1，t2，…，tk，則他們的身高滿足t1…>tk(1<=i<=k)。

你的任務是，已知所有n位同學的身高，計算最少需要幾位同學出列，可以使得剩下的同學排成合唱隊形。

#####分析：這道題的演算法已經很明顯了，仍然是最長上公升子串行。基於這個隊形的性質，我們知道以中間的乙個人為分界點，他左邊的同學是乙個最長上公升序列，他右邊的同學是乙個最長下降序列。

#####問題又可以轉化為兩個最長上公升序列：從左到右做一遍lis，在右到左做一遍lis，最後列舉中間點計算最大值即可。

#####計算最多的同學組成的佇列的公式：

m ax

x=ma

x(ma

xx,d

p1[i

]+dp

2[i]

−1)(

1<=i

<=n

)maxx =max(maxx,dp1[i]+dp2[i]-1) (1<=i<=n)

maxx=m

ax(m

axx,

dp1[

i]+d

p2[i

]−1)

(1<=i

<=n

)原式子-1是因為中間點被算了兩次

那麼具體**如下：

#include
using
namespace std;
int n;
int dp1[
1000001]=
;//正著
int dp2[
1000001]=
;//倒著
int maxx=0;
int a[
1000001]=
;int
main()
//正著
for(
int i=n;i>=
1;i--
)//倒著
for(
int i=
1;i<=n;i++
) maxx=
max(maxx,dp1[i]
+dp2[i]-1
);//比較最大值
cout<
//注意，題目問的是去掉多少同學，而不是最多可以組成多長的佇列
return0;
}

三、飛彈攔截

題意簡述：某國為了防禦敵國的飛彈襲擊，發展出一種飛彈攔截系統。但是這種飛彈攔截系統有乙個缺陷：雖然它的第一發炮彈能夠到達任意的高度，但是以後每一發炮彈都不能高於前一發的高度。某天，雷達捕捉到敵國的飛彈來襲，由於該系統還在試用階段，所以只有一套系統，因此有可能不能攔截所有的飛彈。

輸入飛彈的枚數和飛彈依次飛來的高度（雷達給出的高度資料是不大於30000的正整數，每個資料之間有乙個空格），計算這套系統最多能攔截多少飛彈？

如果要攔截所有飛彈最少要配備多少套這種飛彈攔截系統？

分析：這道題有兩個小問，第二個小問屬於貪心，不在這次的範疇，就不多講

第一小問問我們至少能攔截多少個飛彈，題目中說「以後每一發炮彈都不能高於前一發的高度」，這時乙個關鍵句。這句話進行化簡後就是說前乙個數不能大於後乙個數，原問題就轉化為此序列的最長不上公升子串行（是包括相等的），只需要在之前的**中改變乙個符號便可，這裡就不貼**了。

至於第二小問，就是用貪心求序列的最長不下降序列的個數，不多敘述

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Day 2 2 資料轉換

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